Podrecznik Matematyka, math
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
M A T E M A T Y K A
Wyrównawcze
materiały dydaktyczne
z matematyki
dla kierunku informatyka
Dr Wiesława Kubiak
Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi
93-008 Łódź, ul. Rzgowska 17a
tel. 042 275 01 00, fax 042 640 33 55
Powielanie lub rozpowszechnianie niniejszego materiału lub jego części wymaga zgody Wyższej Szkoły Informatyki w Łodzi.
M A T E M A T Y K A
Rozdział 1
Liczby i zbiory
1. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory.
3
2. Porównywanie liczb rzeczywistych.
5
3. Działania w zbiorze R i jego podzbiorach.
7
4. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych.
12
5. Wartość bezwzględna (Moduł) liczby.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną.
14
6. Potęgi i działania na potęgach.
20
7. Wzory skróconego mnożenia. Trójkąt Pascala.
23
8. Zapis pozycyjny liczb rzeczywistych. Notacja wykładnicza.
28
2/193
Powielanie lub rozpowszechnianie niniejszego materiału lub jego części wymaga zgody Wyższej Szkoły Informatyki w Łodzi.
M A T E M A T Y K A
1. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory.
Pojęcieliczbyjestpojęciempodstawowymmatematyki.Jesttopojęciepierwotne,
któregoniedeiniujemy.
Deinicja – Oś liczbowa
Oś liczbowa
jest
modelem geometrycznym
zbioru liczbowego, który nazywamy
zbioremliczb
rzeczywistych
.Ośliczbowatoprosta,naktórejustalonyzostałzwrot
dodatni,punktzerowyorazjednostka.
A
0
1
x
Każdej liczbie rzeczywistej
odpowiada
dokładnie jeden
punktnaosiliczbowej.
Każdemupunktowidokładniejednaliczbarzeczywista,którąnazywamywspółrzędną
tegopunktuipiszemy
A=(x)
.
Oznaczenia
Wprowadzamynastępująceoznaczenia:
R
-zbiórliczb
rzeczywistych
R
+
(
R
-
)-zbiórliczbrzeczywistychdodatnich(ujemnych)
N
={0,1,2,3,.....}-zbiórliczb
naturalnych
C
={...-3,-2,-1,0,1,2,3,..}-zbiór
liczb całkowitych
C
+
=
N
\{0}={1,2,3,.....}-zbiórliczb
całkowitych dodatnich
C
-
-zbiórliczbcałkowitychujemnych
W
-zbiórliczbwymiernych
NW
=
R
\
W
-zbiórliczbniewymiernych
3/193
Powielanie lub rozpowszechnianie niniejszego materiału lub jego części wymaga zgody Wyższej Szkoły Informatyki w Łodzi.
M A T E M A T Y K A
Uwaga
:
∀
-oznaczakwantyikator„dlakażdegoxnależącegodozbioruA”
xA
∈
∃
-oznaczakwantyikator„istniejex,którynależydozbioruA”
xA
∈
Deinicja – Liczba wymierna
Liczbęnazywamy
wymierną
,jeżelimożnazapisaćją
wpostaciułamka
p
q
,gdziepiqsąliczbamicałkowitymiorazq
≠
0.
Liczbyniewymierne,totektórewpostacitakiegoułamkaniemożnaprzedstawić.
Zależnośćpodzbiorówzbioruliczbrzeczywistychmożnaprzedstawićdiagramem:
C
+
Liczby
całkowite
dodatnie
N
Liczby
naturalne
C
Liczby
całkowite
{0}
C
-
Liczby
całkowite
ujemne
W
Liczby
wymierne
Ułamki
nieskracalne
o
mianowniku
większym
od 1
R
Zbiór liczb
rzeczywistych
NW
Liczby
niewymierne
4/193
Powielanie lub rozpowszechnianie niniejszego materiału lub jego części wymaga zgody Wyższej Szkoły Informatyki w Łodzi.
M A T E M A T Y K A
2. Porównywanie liczb rzeczywistych.
Każdedwieliczbymożnazesobąporównać.Ośliczbowawsposóbnaturalny,
zgodniezjejzwrotemdodatnim,„porządkuje”zbiórliczbrzeczywistych.
Własność
Dla każdej pary liczb rzeczywistych x i y zachodzi jedna i tylko jedna
ztrzechrelacji:
xy
=
,
xy
<
,
xy
>
.
Deinicja – Zbiory ograniczone
NiechbędziedanyzbiórA
⊂
R.
Mówimy,żezbiórAjest:
ograniczony z góry
,jeżeliistniejeprzynajmniejjednaliczbaMtaka,że
∀≤
x
M.
xA
∈
ograniczony z dołu
,jeżeliistniejeprzynajmniejjednaliczbamtaka,że
∀≥
x
m.
xA
∈
ograniczony
,jeżelijestjednocześnieograniczonyzgóryizdołu.
Deinicja – Kresy zbiorów
Niech A będzie zbiorem
ograniczonym z góry
. Wówczas wśród liczb M
ograniczających ten zbiór z góry istnieje liczba najmniejsza. Liczbę tę nazywamy
kresem górnym
zbioruAioznaczamy
sup A
.Oznaczato,że
∀
∀∃
x
≤
sup A
∧
y
>
x
xA
∈
xsupAyA
<
∈
5/193
Powielanie lub rozpowszechnianie niniejszego materiału lub jego części wymaga zgody Wyższej Szkoły Informatyki w Łodzi.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]