poch3, Politechnika śląska - Mechatronika semestr 1 i 2, matma, materialy
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
MatematykaOgólna,RMT
2010/2011,sem.zimowy
Badanieprzebieguzmienno±cifunkcji
Zadania¢wiczeniowe
Zad.1.Wyznaczy¢dziedzinypodanychfunkcjiorazichprzedziałymonotoniczno±ci:
(1)f(x)=
1
3
x
3
2
1
2
x
2
+4x,
(2)f(x)=x
3
+x
2
+x,
(3)f(x)=2x
3
+x
2
7x,
(4)f(x)=x
5
+x,
(5)f(x)=
x2
x+2
,
(7)f(x)=
x+3
(11)f(x)=ln
2
x,
(8)f(x)=x
p
x,
(9)f(x)=2xlnx,
(10)f(x)=x
2
lnx,
x
2
,
(12)f(x)=3xlnx,
x+1
,
(13)f(x)=
1
3
x
3
+lnx,
(14)f(x)=arctg
p
x+
p
x.
Zad.2.Wykaza¢,»epodanefunkcjes¡stałenaprzedziałach,naktórychs¡okre±lone:
(1)f(x)=arcsin2x+arccos2x,
(2)f(x)=arctg3x+arctg
3
x
,
(3)f(x)=arctgx+arccos
x
p
1+x
2
.
Zad.3.Dlapodanychfunkcjiwyznaczy¢dziedzin¦orazekstrema:
(1)f(x)=x
3
2x
2
+x,
(2)f(x)=
1
2
x
3
1
2
x
2
+x+2,
(3)f(x)=x
5
5x+2,
(4)f(x)=x
2
lnx,
(5)f(x)=xln(x
2
+1),
(6)f(x)=xe
2x
,
(7)f(x)=3x
2
e
x
2
,
(8)f(x)=x
2
lnx,
(9)f(x)=xln
3
x,
(10)f(x)=
lnx
x
,
x
,
(12)f(x)=
x
2
lnx
,
(13)f(x)=2x+3arcctgx,
(14)f(x)=2x+arccosx,
(15)f(x)=
p
x2ln(
p
x+1).
Zad.4.Znale¹¢przedziałymonotoniczno±ciorazekstremanast¦puj¡cychfunkcji:
lnx
, (2)f(x)=
x
2
3
x
,
(3)f(x)=x
2
lnx
2
,
(4)f(x)=x
2
x
,
(5)f(x)=
1
e
x
1
.
Zad.5.Wyznaczy¢przedziały,naktórychwykresypodanychfunkcjis¡wypukłe/wkl¦słe:
(1)f(x)=x
3
4x3,
(2)f(x)=x
4
4x
3
+6x
2
1,
(3)f(x)=x
4
10x
3
36x
2
+5x7,
(4)f(x)=2lnx3x,
(5)f(x)=x
2
+3lnx,
(6)f(x)=xe
2x
,
(7)f(x)=(x+2)e
1
x
+2
,
x+1
,
(9)f(x)=
1x
2
+
arccosx.
Zad.6.Znale¹¢punktyprzegi¦ciawykresówfunkcji:
(1)f(x)=
1
2
x
4
+10x
3
+27x
2
+3x1,
(2)f(x)=
1
3
x
4
1
2
x
2
+x12,
(3)f(x)=
x
2
x
3
,
(5)f(x)=
2x
3
x+2
,
(6)f(x)=
x
3
x+1
,
x
2
+1
,
1
(6)f(x)=
x
2
8
(11)f(x)=
ln
3
x
(1)f(x)=
x
(8)f(x)=
x
2
(4)f(x)=
x+1
MatematykaOgólna,RMT
2010/2011,sem.zimowy
(7)f(x)=xe
2x
,
(8)f(x)=x
2
e
x
,
(9)f(x)=x
3
(1lnx),
(10)f(x)=xln
3
x,
(11)f(x)=
lnx
x
.
Zad.7.Znale¹¢punktyprzegi¦ciaiprzedziaływkl¦sło±ciiwypukło±cifunkcji:
(1)f(x)=
1
2
x
2
+
1
x
, (2)f(x)=1ln(x
2
9), (3)f(x)=2x
4
+3x
2
+12x+15.
Zad.8.Wyznaczy¢przedziały,wktórychdanafunkcjajestjednocze±niemalej¡caiwypukła:
(1)f(x)=xe
2x
,
(2)f(x)=x
2
+lnx,
x
1
,
(4)f(x)=xsinx,
(5)f(x)=xln
3
x,
(6)f(x)=x
2
lnx.
Zad.9.Wyznaczy¢przedziały,wktórychdanefunkcjajestjednocze±nierosn¡caiwkl¦sła:
(1)f(x)=x2lnx,
(2)f(x)=(2x1)e
x
,
(3)f(x)=
e
x
(4)f(x)=
p
1x
2
+arccosx,
(5)f(x)=x
ln
4
x,
(6)f(x)=
p
x+arcctg
p
x,
(7)f(x)=(x3)e
1
3
x
.
x
,
Zad.10.Wyznaczy¢przedziały,wktórychdanafunkcjajestrosn¡caiprzyjmujewarto±ciujemne:
(1)f(x)=3ln
3
x,
(2)f(x)=x
3
2x+1,
(3)f(x)=
x
2
+x
(4)f(x)=
2x
(6)f(x)=
e
1
2
x
x3
,
x1
,
(5)f(x)=(2x
2
1)e
x
,
(7)f(x)=xlnx.
Zad.11.Wyznaczy¢przedziały,wktórychdanafunkcjajestwypukłaiprzyjmujewarto±cidodatnie:
(1)f(x)=x
3
4x,
(2)f(x)=
(4)f(x)=x
3
e
1
x
,
(5)f(x)=ln(x
2
1),
(6)f(x)=arccos
1
x
,
(7)f(x)=e
2
x
2
2
.
x
2
+12,
(3)f(x)=(x1)e
x
,
Zadaniadodatkowe
Zad.1.Dlajakiejwarto±ciparametrupfunkcjafjestrosn¡cawcałejdziedzinie?
(1)f(x)=
1
3
x
3
+
3
2
x
2
+px+1, (2)f(x)=x
3
+(p+2)x10.
Zad.2.Dlajakiejwarto±ciparametrupfunkcjafmawpunkciex
0
ekstremum?Okre±lrodzajtegoekstremum.
(1)f(x)=px
3
x
2
+x+3; x
0
=1; (2)f(x)=
1
3
x
3
px
2
+5x3; x
0
=1.
(x1)(x4)
dlax=2osi¡gaekstremumrówne-1.Wyznaczaibirozstrzygnijczy
jesttomaksimumczyminimum.
Zad.4.Naszkicujwykresfunkcjif.Zwykresuodczytajpunkty,wktórychfunkcjaosi¡gaekstrema.Czy
istniejepochodnafunkcjiwtychpunktach?
(1)f(x)=jx2j3, (2)f(x)=jx
2
4j, (3)f(x)=jsinxj.
Zad.5.Zbadajprzebiegzmienno±cifunkcjiinaszkicujjejwykres:
(1)f(x)=x
4
2x
2
8,
(2)f(x)=
x
(3)f(x)=x+
1
x
,
(4)f(x)=
x
2
2x+1
(5)f(x)=
1
cosx
.
x
2
+1
,
x
,
2
(3)f(x)=e
x
+1
x
2
1
,
p
Zad.3.Funkcjaf(x)=
ax+b
 MatematykaOgólna,RMT
2010/2011,sem.zimowy
Zad.6.Któryzprostok¡tówoobwodzierównym2pmanajwi¦kszepole?
Zad.7.Któryzprostok¡tówoustalonympoluSmanajmniejszyobwód?
Zad.8.Jakiewymiarypowinnamie¢puszkawkształciewalca,maj¡cacałkowit¡powierzchni¦150cm
2
,aby
jejobj¦to±¢byłanajwi¦ksza?
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]