Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych - K. Rębilas, FIZYKA
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Pochodnairóżniczkafunkcjiorazjejzastosowaniedorachunkubłędówpomiarowych
KrzysztofRębilas
Łatwosprawdzić,żeznalezionyprzeznaswyniknapo-
chodnąfunkcji
f
(
x
)=
x
2
(wzór(4))jestszczególnym
przypadkiemogólnegowzoru(6),wktórymnależypod-
stawić
n
=2.Dlaprzykładuobliczmyjeszczepochod-
nąfunkcji
f
(
x
)=
x
4
.Korzystajączwzoru(6),mamy:
(
x
4
)
′
=4
x
3
.
Użytecznesąrównieżwzorypozwalająceobliczaćpo-
chodnewyrażeńzłożonychbędącychiloczynemstałej
a
ifunkcji
f
,sumąlubróżnicądwóchfunkcji
f
i
g
oraz
iloczynemlubilorazemfunkcji
f
i
g
:
DEFINICJAPOCHODNEJ
Pochodnafunkcjif
(
x
)wpunkcie
x
określonajestjako
granica:
f
(
x
+∆
x
)
f
(
x
)
∆
x
.
(1)
−
lim
∆
x→
0
Oznaczamyjąsymbolami:
f
′
(
x
) lub
df
dx
.
(2)
f
)
′
=
a
(
f
)
′
(
a
·
·
(10)
Dlaprzykładuobliczmypochodnąfunkcji
f
(
x
)=
x
2
.Na
podstawiedenicji(1)mamy:
g
)
′
=
f
′
±
g
′
(
f
±
(11)
(
x
+∆
x
)
2
x
2
∆
x
=
df
dx
=lim
−
∆
x→
0
g
)
′
=
f
′
·
g
′
(
f
·
g
+
f
·
(12)
(
x
2
+2
x
∆
x
+(∆
x
)
2
)
x
2
∆
x
=
−
(
f
g
)
′
=
f
′
·
=lim
∆
x→
0
g
′
g
−
f
·
(13)
g
2
2
x
∆
x
+(∆
x
)
2
∆
x
=
=lim
∆
x→
0
Wzór(10)wykorzytujemynaprzykładdlaoblicznia
pochodnejfunkcji
f
(
x
)=4
x
3
:
=lim
∆
x→
0
(2
x
+∆
x
)=2
x.
(3)
Otrzymanywyniknapochodnąfunkcji
f
(
x
)=
x
2
zapi-
sujemywpostaci:
(4
x
3
)
′
=4(
x
3
)
′
=4
3
x
2
=12
x
2
.
(14)
·
Wzór(11)jestużytecznynaprzykładwnastępującym
przypadku:
(
x
2
)
′
=2
x
(4)
Wpodobnysposóbmożnanapodstawiedenicji(1)
znaleźćwzorynapochodnepodstawowychfukcjimate-
matycznych.Poniżejprzedstawiamygotowerezultatyob-
liczeńdlawybranychfunkcji(
a
oraz
n
oznaczająstałe):
(2
x
3
+6
x
5
)
′
=(2
x
3
)
′
+(6
x
5
)
′
=2
3
x
2
+6
5
x
4
.
(15)
·
·
Wzór(11)zastosowaliśmyidentykującodpowiednie
funkcjejako:
f
=2
x
3
oraz
g
=6
x
5
.Ostatniarówność
wpowyższymrównaniuwynikazwzorów(6)i(10).
Poniżejmamyprzykładzastosowaniawzoru(12):
(
a
)
′
=0
(5)
(
x
3
sin
x
)
′
=(
x
3
)
′
·
sin
x
+
x
3
(sin
x
)
′
=
·
·
(
x
n
)
′
=
n
x
n−
1
·
(6)
=3
x
2
sin
x
+
x
3
·
·
cos
x,
(16)
gdzieodpowiedniefunkcjemająpostać:
f
=
x
3
oraz
g
=
sin
x
.
(sin
x
)
′
=cos
x
(7)
(cos
x
)
′
=
−
sin
x
(8)
(ln
x
)
′
=
1
x
(9)
2
Wzór(13)należyzastosowaćwprzypadku:
(
2
x
4
RÓŻNICZKAFUNKCJI
)
′
=
7
x
3
x
2
+
x
3
−
Różniczkafunkcjidf
przyzmianiejejargumentuo∆
x
określonajestjakoiloczynpochodnej
df/dx
izmiany∆
x
,
czyli:
=
(2
x
4
−
7
x
)
′
·
(3
x
2
+
x
3
)
−
(2
x
4
−
7
x
)
·
(3
x
2
+
x
3
)
′
df
=
df
=
dx
∆
x.
(17)
(3
x
2
+
x
3
)
2
=
(2
·
4
x
3
−
7)
·
(3
x
2
+
x
3
)
−
(2
x
4
−
7
x
)
·
(3
·
2
x
+3
x
2
)
Zauważmy,żeróżniczkafunkcji
df
jestrówna
zmianie
wartościstycznej
wpunckie
x
następującejnaodcinku
od
x
do
x
+∆
x
(patrzRys.(2)).Wynikatostąd,że
zmianawartościstycznejorównaniu
y
=
ax
+
b
wyno-
si∆
y
=
a
∆
x
,awspółczynnikkierunkowystycznej,jak
pokazanopowyżej,mawartośćpochodnej:
a
=
df/dx
li-
czonejwmiejscu
x
.
NapodstawieRys.(2)możnasięprzekonać,żedlama-
=
...,
(3
x
2
+
x
3
)
2
gdzieprzyjęliśmy
f
=2
x
4
7
x
oraz
g
=3
x
2
+
x
3
.
−
GEOMETRYCZNAINTERPRETACJA
POCHODNEJ
Wdenicjipochodnej(1)występujestosunekzmiany
wartościfunkcji∆
f
=
f
(
x
+∆
x
)
f
f
(
x
)dozmianywarto-
ściargumentu∆
x
.NaRys.(1)pokazanowykresfunkcji
−
f
y= x+b
a
f(x+ x)
D
D
f
y= x+b
a
df
P
f(x)
R
f(x+ x)
D
P
x
x
x+
D
f(x)
Rysunek2.Graczneprzedstawienieróżniczkifunkcji
df
.
łychwartości∆
x
różniczkafunkcji
df
jestbardzodobrym
przybliżeniemzmianywartościfunkcji∆
f
:
x
x
x+
D
Rysunek1.Siecznaprzechodzącaprzezpunkty
P
i
R
wgra-
nicy∆
x→
0stajesięstycznądowykresuwpunkcie
x
.
∆
f
∼
=
df.
(18)
Azatem,stosującpowyższeprzybliżenie,zmianęwarto-
ścifunkcji∆
f
przyzmianieargumentuo∆
x
możemy
obliczaćzwzoru:
f
(
x
),naktórymzaznaczonosiecznąprzecinającąfunkcję
wpunktach
P
=
[
x,f
(
x
)
]
i
R
=
[
x
+∆
x,f
(
x
+∆
x
)
]
.
Siecznajakoprostaopisanajestrównaniempostaci
y
=
ax
+
b
,gdzie
a
totzw.współczynnikkierunkowyprostej,
któregowartośćdanajestprzezstosunek
a
=∆
y/
∆
x
.Na
podstawieRys.(1)widzimy,żeiloraz∆
f/
∆
x
towłaśnie
współczynnikkierunkowysiecznejprzecinającejwykres
funkcjiwpunktach
P
i
R
.
Wgranicy∆
x→
0punkty
P
i
R
zlewająsięisiecz-
nastajesię
styczną
dowykresuwpunkcie
P
.Oznacza
to,żewgranicy∆
x
∆
f
∼
=
df
dx
∆
x.
(19)
PRZYKŁAD
Przybliżenie(19)wykorzystujemyprzyobliczaniubłę-
dówpomiarowychwielkościmierzonychpośrednio.Na
przykładchcącwyznaczyćobjętośćkulimierzymyjej
promień
r
iwstawiamydowzoru:
0stosunek∆
f/
∆
x
(czylipo-
chodnafunkcji)stajesięwspółczynnikiemkierunkowym
stycznej.Azatem:
→
V
=
4
Pochodnafunkcji
df/dx
wpunkcie
x
mawartość
współczynnikakierunkowegostycznejdowykresu
3
r
3
.
(20)
funkcji
f
poprowadzonejwpunkcie
P
=
[
x,f
(
x
)
]
.
3
Wtensposóbpomiarobjętościkulijest
pomiarempo-
średnim
,awielkościąmierzoną
bezpośrednio
jestpromień
r
.Załóżmy,żeznamy
maksymalnybłąd
pomiarubezpo-
średniego,czyliznamy∆
r
.Pamiętamy,żeoznaczato,iż
prawdziwawartośćpromienia
r
mieścisięgdzieśwprze-
podanychwzorów(wzór(6))iotrzymujemy:
dr
=
(
4
3
r
3
)
′
=
4
dV
3
·
3
·r
2
=4
r
2
.
(24)
dziale
(
r
∆
r,r
+∆
r
)
.Stawiamypytanie:wjakimprze-
dzialedopuszczalnychwartościznajdujesięprawdziwa
wartośćobjętościkuli?
JakpokazujeRys.3,przedziałowimożliwychwarto-
Wstawiająctenwynikdowzoru(21),mamy::
−
∆
V
=4
r
2
·
∆
r,
(25)
copopodstawieniuwartościliczbowychdaje∆
V
=0
,
88
cm
3
.Ostateczniezatempozaokrągleniuwyniku(23):
V
0
,
88)cm
3
.
(26)
V
=(24
,
53
±
3
V=4/3
p
r
POCHODNACZĄSTKOWA
Dlafunkcjiwieluzmiennych
f
(
x,y,z
),jakouogólnienie
pojęciapochodnej,określonajesttzw.pochodnacząst-
kowa.
Pochodnacząstkowapozmiennejx
(ozn.
@f/@x
)
zdeniowanajestjakogranica:
dV
dr
D
V
D
r
V
D
V
@f
@x
=lim
f
(
x
+∆
x,y,z
)
f
(
x,y,z
)
∆
x
.
(27)
−
∆
x→
0
Analogicznieokreślonajestpochodnacząstkowapo
zmniennej
y
ipozmniennej
z
:
D
r
D
r
r
r
@f
@y
=lim
f
(
x,y
+∆
y,z
)
−
f
(
x,y,z
)
∆
y
Rysunek3.Przedziałowimożliwychwartościpromieniakuli
,
(28)
(
r−
∆
r,r
+∆
r
)
,odpowiadapewienprzedziałmożliwych
wartościobjętości(
V−
∆
V,V
+∆
V
).Wielkość∆
V
moż-
nazbardzodobrymprzybliżeniemuznaćzarównąróżniczce
funkcji
V
(
r
),czyli∆
V
=
dV/dr·
∆
r
.
∆
y
→
0
@f
@z
=lim
f
(
x,y,z
+∆
z
)
−
f
(
x,y,z
)
.
(29)
∆
z
∆
z→
0
∆
V,V
+∆
V
),w
którymmożesięznajdowaćprawdziwawartośćobjętości.
Podczasdobrzezaplanowanychpomiarów,błędypomia-
rowesązwykleniewielkie.Zakładamywięc,żebłąd∆
r
jestniedużyistosującwzór(19)wielkość∆
V
przybliża-
myprzezróżniczkęfunkcji
V
(
r
),czyli:
ści
r
odpowiadapewienprzedział(
V
−
Zdenicjipochodnejcząstkowejwynika,żeobliczanie
pochodnejcząstkowejpojakiejśzmiennejnieróżnisię
odobliczaniazwykłejpochodnej,przyczympozostałe
zmiennenależywtrakcieobliczaniapochodnejtrakto-
waćjakowielkości
stałe
.
Naprzykład,jeśliwykonujemypochodnąpozmien-
nej
x
,wówczas
y
i
z
uznajemyzastałe,czylifunkcja
f
(
x,y,z
)naczasliczeniapochodnejstajesięjakbyfunk-
cjątylko
jednej
zmennej
x
.Wszystkiepodanewcześniej
wzory(5)-(13)napochodnefunkcjijednejzmiennejmają
zatemzastosowanierównieżprzyobliczaniupochodnych
cząstkowych.
Podajmykilkaprzykładówobliczaniapochodnej
cząstkowej.
∆
V
=
dV
dr
∆
r.
(21)
Takokreślonawartość∆
V
wyznaczanamtzw.
błądmak-
symalny
pomiaruobjętości.
Wykonajmyobliczeniadlaprzykładowychwartości
liczbowych.Niechwwynikupomiaruuzyskanawartość
promieniaibłądpomiaruwynoszą:
r
=2
,
64cm
,
∆
r
=0
,
01cm
.
(22)
Zewzoru(20)otrzymujemywtedy:
V
=24
,
53299cm
3
.
(23)
Abyoszacowaćbłąd∆
V
najpierwznajdujemywzórna
pochodną
dV/dr
.Wtymcelukorzystamyztabeliwyżej
4
Przykład1:
Przykład3:
f
=
xy
x
+
y
f
=
x
2
+
y
3
+
z
4
@f
@x
=
@
@x
(
x
2
)+
@
@x
(
y
3
)+
@
@x
(
z
4
)=
@
@
@x
(
xy
)
·
(
x
+
y
)
−
(
xy
)
·
@x
(
x
+
y
)
@f
@x
=
(
x
+
y
)
2
=
=2
x
+0+0=2
x,
(
x
+
y
)
2
=
y
2
=
(
y
)
·
(
x
+
y
)
−
(
xy
)
·
(1+0)
(
x
+
y
)
2
,
@f
@y
=
@
@y
(
x
2
)+
@
@y
(
y
3
)+
@
@y
(
z
4
)=
@
@
@y
(
xy
)
·
(
x
+
y
)
@y
(
x
+
y
)
(
x
+
y
)
2
=
−
(
xy
)
·
@f
@y
=
=0+3
y
2
+0=3
y
2
,
@f
@z
=
@
@z
(
x
2
)+
@
@z
(
y
3
)+
@
(
x
+
y
)
2
=
x
2
=
(
x
)
·
(
x
+
y
)
−
(
xy
)
·
(0+1)
@z
(
z
4
)=
(
x
+
y
)
2
.
Przyliczeniupochodnej
@
@x
(
xy
)skorzystaliśmyzwzoru
(6).Dziękitemu,pamiętającże
y
jesttraktowaneteraz
jakstała,mamy:
@
@x
(
xy
)=
y
=0+0+4
z
3
=4
z
3
.
@
@x
(
x
)=
y
Wykorzystaliśmytuwłasność(11),żepochodnasumy
jestsumąpochodnych,orazfakt,żepochodnazestałej
wynosizero.
1=
y
.Analo-
giczniepostąpiliśmyliczącpochodnącząstkową
@
@y
(
xy
),
codałonamwwyniku:
@
@y
(
xy
)=
x·
·
·
@
@y
(
y
)=
x·
1=
x
.
Przykład2:
RÓŻNICZKAZUPEŁNAFUNKCJI
f
=
x
2
+
y
3
y
4
+
z
5
Różniczkązupełnądf
funkcji
f
(
x,y,z
)nazywamywy-
rażenie:
(
x
2
y
4
+
z
5
)
+
@
@x
(
y
3
y
4
+
z
5
)
=
@f
@x
=
@
df
=
@f
@x
∆
x
+
@f
@y
∆
y
+
@f
@x
@z
∆
z.
(30)
Jakwidaćjesttouogólnienniepojęciaróżniczkifunkcji
dlafunkcjiwieluzmiennych.
Jeżelizmianaargumentówfunkcji∆
x
,∆
y
,∆
z
jestnie-
wielka,wówczasróżniczkazupełnafunkcji
df
jestbardzo
dobrymprzybliżeniemzmianywartościfunkcji∆
f
wy-
wołanejzmianąwartościjejargumentów,czyli:
=
1
y
4
+
z
5
@x
(
x
2
)+0=
2
x
@
y
4
+
z
5
,
@y
(
x
2
+
y
3
)
@
(
y
4
+
z
5
)
(
x
2
+
y
3
)
@y
(
y
4
+
z
5
)
@
·
−
·
@f
@y
=
=
(
y
4
+
z
5
)
2
∆
f
∼
=
@f
@x
∆
x
+
@f
@y
∆
y
+
@f
@z
∆
z.
(31)
=
(3
y
2
)
(
y
4
+
z
5
)
(
x
2
+
y
3
)
(4
y
3
)
·
−
·
,
(
y
4
+
z
5
)
2
ZASTOSOWANIERÓŻNICZKIZUPEŁNEJW
RACHUNKUBŁĘDÓWPOMIAROWYCH
@
@
@z
(
x
2
+
y
3
)
(
y
4
+
z
5
)
(
x
2
+
y
3
)
@z
(
y
4
+
z
5
)
@f
@z
=
·
−
·
=
(
y
4
+
z
5
)
2
Przybliżenie(31)wykorzystywanejestwrachunkubłę-
dówpomiarowych.Niechjakaświelkośćzycznadana
jestpoprzezwyrażeniefunkcyjneodwielkościmierzo-
nychbezpośrednio.Naprzykład,używającwahadłama-
tematycznegomożnawyznaczyćprzyspieszenieziemskie
g
,mierzącbezpośredniojegodługość
l
orazokres
T
i
wstawiającdowzoru:
(
y
4
+
z
5
)
(
x
2
+
y
3
)
(5
z
4
)
(
x
2
+
y
3
)
(5
z
4
)
(
y
4
+
z
5
)
2
.
=
0
·
(
y
4
+
z
5
)
2
=
−
−
·
·
Przyliczeniupochodnejcząstkowejpo
y
i
z
zastosowali-
śmywzórnapochodnąilorazu(13).
g
=
4
2
l
T
2
(32)
5
Powiedzmy,żeznamymaksymalnebłędypomiarowedłu-
gości∆
l
orazokresu∆
T
.Jakobliczyćmaksymalnybłąd
wyznaczeniaprzyspieszeniaziemskiego∆
g
?Odwołując
siędoprzykładuzwyznaczaniemobjętościpoprzezpo-
miarpromienia,wydawaćbysięmogło,żenależy,na
zasadzieuogólnieniawzoru(21),zastosowaćterazwzór
(31),czyli:
doktóregonależypodstawićzmierzonewartości
l
i
T
oraz
wartościbłędów∆
l
i∆
T
.
Ogólnie,jeślijakaświelkośćzycznawyrażasięwfor-
miezależnościfunkcyjnej
f
(
x,y,z
)odmierzonychbez-
pośredniowielkości
x,y,z
,któreznamyzbłędemmak-
symalnym,odpowiednio∆
x
,∆
y
,∆
z
,wówczas
błądmak-
symalny
∆
f
określamywzorem:
∆
g
=
@g
@l
∆
l
+
@g
@T
∆
T
wzórbłędny! (33)
∆
f
=
∆
x
+
∆
y
+
@f
@x
@f
@y
@f
@z
∆
z.
(36)
Zpewnychwzgledówpowyższywzórniejestjednakpo-
prawnymwzoremna
błądmaksymalny
∆
g
.
Otóżbłędy∆
l
i∆
T
sązzałożeniawielkościamido-
datnimi.Wzór(33)jestpoprawnymwzoremnazmianę
funkcji
g
(
l,T
)właśnieprzyzmianieargumentówo+∆
l
i+∆
T
.Tymczasemzmierzonewartości
l
i
T
mogąsię
różnićodrzeczywistychwartościdługościniciiokresu
o
Wstosunkudowzorunaróżniczkęzupełnąmamytu-
tajwartościbezwzględnepochodnychcząstkowych,bo-
wiemprzyszacowaniubłędumaksymalnego∆
f
zakła-
damysytuacjęnajmniejkorzystną,kiedytoprzyczynki
pochodząceodbłędów
∆
T
.Wzależnościodwyboruznakuprzy∆
l
i∆
T
,uzyskujemyróżnewynikinazmianęfunkcji∆
g
.
Niestetyniewiemyjakajestwartośćrzeczywistamierzo-
nychwielkościzycznych
l
i
T
,więcniewiemyjakiznak
wybrać.Jednakżeprzypewnymwyborzeznakówprzy∆
l
i∆
T
,odchyłka∆
g
przybierzewartość
maksymalną
.Ta
właśniemaksymalnawartość∆
g
określanam
błądmak-
symalny
pomiaruprzyspieszeniaziemskiego
g
.
Oczywiście∆
g
będziemaksymalne,gdyobawyrazy
poprawejstronierównania(33)będądodatnie.Wna-
szymprzykładzie,ponieważ
@g
@l
=
4
2
±
∆
l
i
±
∆
z
siękumulują.
Obliczaniebłędumaksymalnegozapomocawzoru
(36)nazywasiemetodą
różniczkizupełnej
.
±
∆
x
,
±
∆
y
,
±
Uwaga:
Jeślizależnośćfunkcyjnajestpostaci:
f
(
x,y,z
)=
kx
a
y
b
z
c
,
(37)
T
2
>
0oraz
@g
@T
=
gdzie
a,b,c,k
tostałe,wówczaspowyliczeniupochod-
nych,wstawieniudowzoru(36)ipodzieleniuobustron-
nymrównaniaprzez
f
otrzymamy:
−
8
2
l
T
3
<
0,∆
g
będziemaksymalne,gdydowzoru(33)
wstawimy+∆
l
i
∆
T
.Jednakbyuniknąćdwukrotne-
gopisaniaznaku”minus”(przypochodnejiprzy∆
T
),
wzór(33)zapisujemydlaprzypadkumaksymalnego∆
g
wnastępującysposób:
∆
g
=
−
∆
f
f
=
∆
x
x
∆
y
y
∆
z
z
|
a
|
+
|
b
|
+
|
c
|
.
(38)
∆
l
+
@g
@l
@g
@T
∆
T.
(34)
Określonawzorem(34)
maksymalna
możliwaodchyłka
∆
g
zmierzonejwartości
g
odwartościrzeczywistejspo-
wodowanabłędami
Jesttowygodnywzórdowyliczanabłędu
względnego
∆
f/f
dlawielkościdanychwzorem(37).
Ponieważwzór(38)możnauzyskaćprzezzlogarytmo-
waniewzoru(37)iobustronnezróżniczkowanie,oblicza-
niebłędumaksymalnegoprzyużyciuwyrażenia(38)na-
zywanejestmetodą
pochodnejlogarytmicznej
.
∆
T
jestpoprawnymosza-
cowaniembłędumaksymalnegopomiaruprzyspieszenia
ziemskiego
g
.
Wstawiającdowzoru(34)znalezionewyrażenianapo-
chodnecząstkowe,otrzymujemyjawnywzórnabłąd∆
g
:
∆
g
=
±
∆
l
i
±
∆
l
+
4
2
T
2
8
2
l
T
3
−
∆
T,
(35)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]