Pochodne2, Mechatronika PG, semestr I, Matematyka, cwiczenia
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
POCHODNE cz¦±¢ 2 - ZASTOSOWANIA
Zad 5
Wykaza¢, »e funkcja spełnia podane równanie.
a)
y
=
p
2
x
−
x
2
, y
3
y
00
+ 1 = 0
c)
y
=
xe
x
, x
2
yy
00
= (
y
−
xy
0
)
2
b)
y
=
e
x
cos
x, y
(4)
+ 4
y
= 0
Zad 6
Wyznaczy¢ równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
a)
f
(
x
) =
5
x
2
+2
x
2
+1
w punkcie o odci¦tej
x
0
=
−
1
b)
y
= cos 2
x
w punkcie
P
(
e
2
,
2)c)
f
(
x
) = arcsin
1
−
x
3
w punkcie przeci¦cia si¦ tej krzywej z osi¡
Ox
d)
y
=
x
2
x
w punkcie o odci¦tej równej 1
.
Zad 7
Wyznaczy¢ równanie stycznej do krzywej
y
=
f
(
x
) wiedz¡c, »e:
a)
f
(
x
) =
x
2
+
x
+ 2
,
oraz styczna jest równoległa do prostej
l
: 2
x
+
y
−
3 = 0
b)
f
(
x
) = 3 + 2
x
−
x
2
,
oraz styczna jest prostopadła do prostej
k
:
−
x
+ 3
y
+ 3 = 0
c)
f
(
x
) = 3
3
p
x,
oraz styczna jest równoległa do prostej
y
=
x
−
1
d)
f
(
x
) =
x
−
6
x
+3
oraz styczna tworzy z osi¡
Ox
k¡t o mierze
4
e)
f
(
x
) =
x
3
−
3
x
2
−
9
x
oraz styczna jest równoległa do osi
Ox.
Zad 8
Znale¹¢ k¡t mi¦dzy krzywymi o równaniach:
1
x
, g
(
x
) =
x
2
c)
f
(
x
) =
x
+1
1
x
+1
b)
y
=
x
2
, y
= 3
x
−
2
a)
f
(
x
) =
x
2
, g
(
x
) =
Zad 9
Zbada¢ monotoniczno±¢ i znale¹¢ ekstrema funkcji:
3
p
x
2
−
1
d)
y
=
x
2
+3
x
+1
x
+3
a)
f
(
x
) =
x
3
−
3
x
+ 5
x
ln
x
g)
f
(
x
) =
j)
f
(
x
) =
h)
y
= arctg
x
−
ln
p
1 +
x
2
k)
f
(
x
) = 3
3
p
x
2
−
x
x
+
2
2
b)
f
(
x
) =
e)
f
(
x
) =
x
−
2 ln
x
c)
y
=
x
2
+1
x
f)
f
(
x
) =
x
3
e
−
4
x
1+ln
x
x
i)
f
(
x
) =
l)
f
(
x
) =
x
−
arctg
x
Zad 10
Znale¹¢ najmniejsz¡i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji:
a)
f
(
x
) =
x
3
−
9
x
2
+ 24
x
−
10 na przedziale
h
0
,
3
i
b)
y
= 2 sin
x
+ cos 2
x
na przedziale
h
0
,
2
i
Zad 11
Dane jest równanie ruchu punktu materialnego
s
(
t
) =
t
3
−
9
t
2
+ 15
t
+ 3.
Okre±li¢ warto±¢ pr¦dko±ci i przyspieszenia w chwili
t
0
= 6 oraz wyznaczy¢ czas, w którym punkt zmieni zwrot ruchu.
Zad 12
Obliczy¢ granice funkcji:
cos
x
(
x
+3)
e
x
−
x
x
2
+
x
−
1
2
x
−
8
x
−
e
x
cos 4
x
cos 5
x
a) lim
x
!1
e) lim
x
!
2
i) lim
x
!
0
m) lim
x
!1
sin
x
1+
e
x
x
ln
x
2
x
ln
x
ln sin
x
x
2
e
−
x
2
b) lim
x
!1
f)
lim
x
!
0
+
j) lim
x
!1
n)
lim
x
!−1
1
x
tg
x
ctg
x
x
−
1
p
x
ln
x
ctg
x
−
1
x
c)
lim
x
!
0
+
g) lim
x
!
0
k)
lim
x
!
0
+
o)
lim
x
!
1
+
1
cos
−
tg
x
x
ln
x
−
1
x
+ 1
x
2
e
−
6
x
(ctg
x
)
sin
x
d) lim
x
!1
h) lim
x
!
2
l)
lim
x
!
0
+
p) lim
x
!1
Zad 13
Wyznaczy¢ asymptoty funkcji:
a)
y
=
x
2
+3
x
+1
x
+3
g)
f
(
x
) = (
x
+ 2)
e
x
2
x
+
2
d)
f
(
x
) =
b)
y
=
x
2
+1
x
x
p
x
2
−
4
ln
x
x
−
1
e)
f
(
x
) =
h)
y
=
p
1
−
x
2
3
c)
f
(
x
) =
x
−
2 ln
x
f)
f
(
x
) =
i)
f
(
x
) =
x
+
x
arctg
x
Zad 14
Zbada¢ przebieg zmienno±ci funkcji i naszkicowa¢ jej wykres.
a)
f
(
x
) =
x
2
2(
x
−
3)
b)
y
= (
x
2
−
3)
e
x
,
Zadania do samodzielnego rozwi¡zania: K. i T. Jankowscy ”Zbiór zada« z matematyki”
mgr Dorota Grott CNM PG
[ Pobierz całość w formacie PDF ]