Podstawy ekonomii matematycznej wyklady, ekonomia matematyczna, wyklady notatki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
www.zadania-projekty.pl
1.1. Przedmiot ekonomii matematycznej
Przedmiotem ekonomii matematycznej
są modeli realnych ekonomicznych
procesów.
Model
to jest obiekt, który zastępuje oryginał i odwzorowuje najistotniejsze dla
danego badania cechy i właściwości oryginału.
Metoda ekonomii ekonomicznej
to jest systemowa analiza ekonomiki jak
skomplikowanego dynamicznego układu. Ekonomia Matematyczna tworze modele
matematyczne w postaci założeń o powiązaniu zmiennych ekonomicznych. W skutek
różnorodności podmiotów gospodarczych i zmienności warunków, Ekonomia Matematyczna
dzieli się na szereg różnych modeli nie mających wartości uniwersalnej.
Główni podstawowe matematyczne modele mikro- i makroekonomii:
Modele zachowania konsumenta
Teoria produkcji
Modele rynku
Modele równowagi
Modele wzrostu gospodarczego
Modele cyklu koniunkturalnego
1.2. Modele zachowania konsumenta
Jednej z najistotniejszych pojęciem teorii ekonomicznej jest teoria konsumenta.
Głównym pytaniem tu jest ustalenie konsumpcji dla danych cen na dobra i dochodzie.
Konkretna decyzja o zakupach określonego koszyka dóbr matematycznie może być
pokazana jako wybór punktu w przestrzeni towarów. Niech
n
- jest ograniczona ilość dóbr,
a
n
n
R
Przestrzenią dóbr
nazywa się zbiór wszystkich możliwych dóbr z dodatnimi
współrzędnymi
x
(
2
x
x
,...,
x
n
R
)
koszyk określonych dóbr w przestrzeni
1
0
X
x
x
:
X
.
W przestrzeni dóbr wprowadzimy normę
x
max
i
x
,
i
i odpowiednio metrykę (odległość pomiędzy elementami)
x
,
y
max
x
y
.
i
i
i
1
Przykład. 1.1
Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki
x
x
;
x
|
x
7
x
20
, gdzie
x
są jajka,
x
męka. Obliczyć wielkość koszyka
1
2
1
2
7
i odległość pomiędzy koszykami
7
i
5
5
3
.
7
Rozwiązanie.
X
2
20
1 2 3 4 5 6 7
X
1
7
x
max
7
5
Wielkość koszyka:
.
i
Odległość:
4
7
5
;
3
7
max
x
y
max
7
3
;
5
7
.
i
i
i
i
Definicja 1.1.
Zbiór
U
x
x
|
x
,
x
nazywa się
-
otoczeniem
.
0
0
Y
nazywa się
otwarty
, jeżeli każdy element x zbioru Y
należy do niego razem z pewnym otoczeniem
Definicja 1.2.
Zbiór
X
U
.
Przykład. 1.2
Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki należące do
otoczenia
x
0
U
2
3
10
z przykładu 1.1.
Rozwiązanie.
X
2
20
10
X
1
1 2 3 4 5 6 7
2
www.zadania-projekty.pl
a
nazywa się
punktem brzegowym
zboru
A
, gdy w
dowolnym otoczeniu tego punktu znajdują się punkty należące i punkty nie należące do
zbioru
A
.
Definicja 1.4.
Zbiór
X
Definicja 1.3.
Punkt
A
Y
nazywa się
domknięty
, jeżeli Y jest sumą niektórego
otwartego zbioru
A
i wszystkich brzegowych punktów
A
.
1.3. Ograniczenie budżetowe
n
P
,(
2
p
p
,...,
p
n
R
)
Załóżmy, że możemy obserwować ceny wszystkich dóbr
,
1
oraz budżet konsumenta
m
. Wtedy ograniczenie budżetowe może być zapisane jako
m
p
x
p
x
...
p
n
x
1
1
2
2
n
(
21
, który spełniają ten warunek nazywa się
zbiorem budżetowym
lub
zbiorem dopuszczalnych koszyków
.
X
x
x
,...,
x
n
R
)
Zbiór punktów
1.4. Własności zbioru budżetowego w
R
.
2
Definicja 1.5
.
Linią budżetu
nazywamy zbiór koszyków
X
(
x
1
)
,
x
R
, który
spełniają warunek
p
x
p
x
m
1
1
2
2
Równanie linię budżetu może być również zapisane w postaci
m
p
x
1
x
2
1
p
p
2
2
. Najprostszy sposób narysowania tej
1
Jest to równanie prostej z nachyleniem
p
2
m
m
.
,
0
0
p
linii – to połączyć punkty
oraz
p
2
x
2
m
p
2
x
m
p
Linia budżetu
Nachylenie linii budżetu ma jasną interpretacje ekonomiczną: mierzy ono stopę
według której konsument jest skłonny zamienić dobro 1 na dobro 2:
m
p
x
p
x
1
1
2
2
p
(
x
x
)
p
(
x
x
)
m
1
1
1
2
2
2
...
p
x
1
2
.
p
x
2
1
Występuje minus, ponieważ
x
1
,
x
zawsze mają znaki przeciwne.
2
Eliminacja jednego parametru.
3
1.5. Zmiany linii budżetu
,
21
, które mogą się zmienić. Z równania
wynika, że wzrost dochodu (budżetu) przesunie równolegle do góry linię budżetu i nie
zmieni kont nachylenia. Zmniejszenie ceny dobra 1 powoduje przesunięcie punktu
przecięcia linii budżetu z poziomą osią na prawo. To znaczy, prosta staje się mniej stroma.
Zmniejsza się kąt nachylenia.
Zmniejszenie ceny dobra 2 – bardziej stroma.
p
,
m
Linia budżetu ma 3 parametry
x
2
m
p
2
x
20
x
10
m
p
x
1
1
Zmiany linii bud
żetu
Zbiór budżetowy w przypadku racjonowania.
Rząd czasem nakłada ograniczenia w postaci racjonowania lub opodatkowania
konsumpcji większej niektórego poziomu. Niech
x
– racjonowane dobro.
p
,
x
x
1
1
1
x
b)
1
x
cena
a) Kartki konsumpcyjne:
(t – podatek)
1
1
p
t
,
x
x
1
1
1
x
2
m
m
p
p
2
2
x
x
x
m
p
x
m
p
x
max
Racjonowanie
Później zobaczymy, że czasem sytuacji b) wynikają i w modelach bez racjonowania
(konsumpcja międzyokresowa).
W teorii konsumpcji zakłada się, że każdy konsument ma własne preferencji na
niektórym podzbiorze przestrzeni dóbr
x.
To oznacza, że dla dwóch dowolnych koszyków
X
y
konsument potrafi ich uszeregować według stopnia pożądania i zawsze
mamy jedną z trzech relacji:
x
i
X
1.
x
y
, (mówimy
y
silnie preferowany nad
x);
2.
y
x
, (mówimy
x
silnie preferowany nad
y);
3.
y
x
~
, (koszyki
x, y
są obojętne (indyferentne)).
4
www.zadania-projekty.pl
Wprowadzimy następujące relacji preferencji:
1.
x
~
, (mówimy
x
słabo preferowany nad
y)
, co oznacza, że koszyk „
y
nie gorszy od
koszyka
x
”.
2.
y
y
x
, (mówimy
x
silnie preferowany nad
y)
, co oznacza, że koszyk
x
jest z pewnością
lepszy od koszyka
y
.
3.
y
x
~
, (koszyki
x, y
są obojętne (indyferentne)).
Pierwsza relacja nazywają się
relacja
słabej preferencji
, druga
relacja silnej
preferencji
, trzecia
relacja indeferentności
.
Podstawową relacją jest relacja słabej preferencji, na podstawie której możemy
zdefiniować pozostałe relacji.
Definicja 1.5.
Parę
,
X
nazywamy
polem preferencji konsumenta
.
~
x
,
.
1.
Mówimy, że koszyki
x, y
są
indyferentne
, jeżeli równocześnie
X
Definicja 1.6.
Niech
x
~
i
y
y
~
.
2.
Mówimy, że koszyk
x
jest
silnie preferowany
nad koszykiem y, jeżeli
x
x
~
i
y
y
~
x
1.6. Właściwości preferencji.
Relacja słabej preferencji ma następujące właściwości:
1.
Dla
,
x
X
x
~
(refleksyjność, zwrotność).
x
,
x
X
2.
Dla
(zupełność).
x
~
y
y
~
x
,
yx
,
z
X
3.
Jeżeli
dla
(przechodniość,
x
~
y
y
~
z
,
to
x
~
z
tranzytywność).
Aksjomat 3 wprowadza liniowy porządek w przestrzeni dóbr i daje możliwość
konsumentowi zawsze dokonywać konkretnego wyboru i nie zamykać się w błędnym kole,
natomiast aksjomat 2 wyklucza istnienie sytuacji, gdy konsument nie jest w stanie
powiedzieć, który z koszyków jest lepszy.
Relacja indeferencji spełnia warunki
ekwiwalentności
:
1. Dla
,
x
x
X
x
~
(refleksyjność, zwrotność).
,
x
X
2. Dla
y
(symetryczność).
y
~
x
x
~
,
yx
,
z
X
3.
Jeżeli
dla
(przechodniość,
x
~
y
y
~
z
,
to
x
~
z
tranzytywność).
To znaczy, przestrzeń dóbr rozbija się na zbiory, które nie mają wspólnych punktów. Takie
zbiory nazywają się
obszary obojętności
. Obszar obojętności w przypadku 2 dóbr
nazywamy
linią obojętności
.
Własności relacji silnej preferencji.
1.
Dla
,
x
X
x
y
y
x
(zupełność).
,
yx
,
z
X
2.
Jeżeli dla
x
~
y
y
~
z
,
to
x
~
z
(przechodniość,
tranzytywność).
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]