pochodne funkcji, Matematyka Studia, Matematyka budownictwo
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Pochodnefunkcji
Wyk“adnr8(Budownictwo)
•Podstawowepojƒcia
•Twierdzeniaopochodnejfunkcji
De
nicja1.(przyrostzmiennejiprzyrostfunkcji)
R
ó
»nicƒ
x−x
0
=:4x
nazywamyprzyrostemzmiennejrzeczywistejx,aodpowiadaj¡cyprzyrostowi
4xprzyrost
4f=f(x)−f(x
0
)
nazywamyprzyrostemfunkcjif.
De
nicja2.(ilorazr
ó
»nicowy)
Ilorazprzyrost
ó
w
4f
4x
=
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
nazywamyilorazemr
ó
»nicowymfunkcjif.
De
nicja3.(pochodnafunkcjiwpunkcie)
Pochodn¡funkcjifwpunkciex
0
nazywamygranicƒilorazur
ó
»nicowegoprzy
x!x
0
,tzn.
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
.
Je»eligranicatakanieistnieje,tofunkcjawtympunkcieniemapochodnej.
Pochodn¡funkcjiy=f(x)oznaczamy:
4f
4x
=lim
lim
x!x
0
x!x
0
y
0
,f
0
(x),
dy
dx
,
df(x)
dx
, ˙y
Pierwszedwasymbolewprowadzi“Lagrange
1
,trzeciiczwartysymbol-
Leibniz
2
,ostatnistosowanywmechanice-Newton
3
.
Uwaga1.Pochodnafunkcjiwpunkciex
0
jestr
ó
wnatangensowik¡ta,kt
ó
ry
tworzystycznadowykresufunkcjiwpunkciex
0
zdodatni¡czƒ–ci¡osiOX.
Uwaga2.Odnajdywaniepochodnejfunkcjinazywasiƒ
r
ó
»niczkowaniemfunkcji.Dzia“matematykitraktuj¡cyopochodnych,ich
w“asno–ciachizastosowaniachnazywamyrachunkiemr
ó
»niczkowym.
De
nicja4.(funkcjar
ó
»niczkowalnawpunkcie)
Funkcjƒfnazywamyr
ó
»niczkowaln¡wpunkciex
0
,je»eliistniejepochodna
funkcjif
0
(x
0
)wpunkciex
0
.
1
JosephLouisdeLagrange(1736-1813)-matematykfrancuski.
2
GottfriedWilhelmvonLeibniz(1646-1716)-
lozofimatematykniemiecki
3
IsaacNewton(1642-1727)-
zyk,astronomimatematykangielski
1
De
nicja5.(funkcjar
ó
»niczkowalnanazbiorze)
Funkcjƒ,kt
ó
rajestr
ó
»niczkowalnawka»dympunkciezbiorunazywamyfunkcj¡
r
ó
»niczkowaln¡natymzbiorze.
‚
wiczenie1.Wyznaczpochodnepodanychfunkcji:
a)y=x;
b)y=x
2
;
c)y=x
3
;
d)y=sinx;
e)y=e
x
.
Pochodnewa»niejszychfunkcjielementarnych
1.(c)
0
=0,c2
R
2.(x
a
)
0
=ax
a−1
,x>0,a2
R
3.(sinx)
0
=cosx
4.(cosx)
0
=−sinx
5.(tgx)
0
=
1
sin
2
x
,sinx6=0
7.(arcsinx)
0
=
1
p
1−x
2
,−1<x<1,−
2
6
arcsinx
6
2
8.(arccosx)
0
=
−1
1−x
2
,−1<x<1,0
6
arccosx
6
9.(arctgx)
0
=
1
p
1+x
2
,−
2
<arctgx<
2
10.(arcctgx)
0
=
−1
1+x
2
,0<arcctgx<
11.(e
x
)
0
=e
x
12.(a
x
)=a
x
lnx,a>0
13.(ln|x|)
0
=
1
x
,x6=0
14.(log
a
|x|)
0
=
1
xlna
,a>0,a6=1,x6=0
Twierdzenie1.(opochodnejsumy,r
ó
»nicy,iloczynuiilorazu)
Je»elifunkcjefigmaj¡pochodnewpunkciex,to
1.(c·f(x))
0
=c·f
0
(x),gdziec2
R
;
2.(f(x)±g(x))
0
=f
0
(x)±g
0
(x);
3.(f(x)·g(x))
0
=f
0
(x)g(x)+f(x)g
0
(x);
f(x)
g(x)
0
=
f
0
(x)g(x)−f(x)g
0
(x)
4.
[g(x)]
2
,oileg(x)6=0.
2
cos
2
x
,cosx6=0
6.(ctgx)
0
=
−1
‚
wiczenie2.Obliczy¢pochodnepodanychfunkcji:
a)f(x)=x
5
+4x
3
−6x
2
−
2
x
+
p
x;
b)g(x)=x
2
lnx;
c)h(x)=
e
x
sinx
;
d)s(x)=
x
2
−1
x
2
+1
.
Twierdzenie2.(opochodnejfunkcjiz“o»onej)
Je»eli
1.funkcjafmapochodn¡wpunkciex,
2.funkcjagmapochodn¡wpunkcief(x),
to
[g(f(x))]
0
=g
0
(f(x))·f
0
(x).
‚
wiczenie3.Obliczy¢pochodnepodanychfunkcji:
a)f(x)=cos
3
x;
b)g(x)=(3x
2
+2x−10)
4
;
c)h(x)=e
sin
2
x
;
d)s(x)=
1
x
3
−1
.
‚
wiczenie4.Obliczy¢pochodnepodanychfunkcji:
a)f(x)=x
x
2
;
b)g(x)=x
sinx
.
min
itworzyplamƒko“ow¡ogrubo–cid=2mm.Obliczy¢,zjak¡
prƒdko–ci¡bƒdziepowiƒksza“asiƒ–rednicaplamyropywchwili,gdybƒdzie
mia“a–rednicƒD=1000m.
‚
wiczenie6.Doczaszywkszta“ciep
ó
“kuliopromieniuR=20cmwlewa
siƒjednostajniewodazprƒdko–ci¡V=100
cm
3
sek
.Obliczy¢prƒdko–¢,zjak¡
bƒdziepodnosi“siƒpoziomwodyh
wczaszynapocz¡tkuipodkoniecnape“niania.(Przypomnijmy,»eobjƒto–¢
odcinkakuliwyra»asiƒwzorem:V=
1
3
h
2
(3R−h))
Twierdzenie3.(r
ó
wnaniestycznejdowykresufunkcji)
R
ó
wnaniestycznejdowykresufunkcjifwpunkcie(x
0
,f(x
0
))jestpostaci:
y−f(x
0
)=f
0
(x
0
)(x−x
0
).
3
cos
3
p
‚
wiczenie5.Ropazuszkodzonegotankowcawyciekazesta“¡prƒdko–ci¡
V=10
m
3
‚
wiczenie7.Napisa¢r
ó
wnaniastycznychdowykres
ó
wpodanychfunkcjiwe
wskazanychpunktach:
a)f(x)=e
x
,(0,1);
b)g(x)=sinx,(,0).
‚
wiczenie8.Danes¡punktyA=(2,−1)orazB=(4,3).Nawykresie
funkcjiy=x
2
+1znale„¢punktCtaki,abypoletr
ó
jk¡taABCby“onajm-
niejsze.
x+1
znale„¢punkt
maj¡cyw“asno–¢,»eodcinekstycznejpoprowadzonejwtympunkcietworzyz
osiamiuk“aduwsp
ó
“rzƒdnychtr
ó
jk¡topoluS=2.
De
nicja6.(pochodnewy»szychrzƒd
ó
w)
Drug¡pochodn¡funkcjiy=f(x)nazywamypochodn¡pierwszejpochod-
nej,tzn.
f
00
(x)=
f
0
(x)
0
,
podobnietrzeci¡pochodn¡funkcjiy=f(x)nazywamypochodn¡drugiej
pochodnej,itd.
f
000
(x)=
f
00
(x)
0
,
f
(4)
(x)=
f
000
(x)
0
,
f
(n)
(x)=
f
(n−1)
(x)
0
.
dx
3
,
...
y
,itd.
‚
wiczenie10.Obliczy¢pochodnef
0
,f
00
,f
000
podanychfunkcji:
a)f(x)=e
x
2
;
b)g(x)=xlnx;
c)h(x)=sin
3
x.
4
‚
wiczenie9.Nakrzywejbƒd¡cejwykresemfunkcjiy=
1
Pochodnewy»szychrzƒd
ó
wfunkcjiy=f(x)oznaczamyr
ó
wnie»symbolami:
d
2
f(x)
dx
2
,¨y;
d
3
f(x)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]