polianaliza1bz, Studia WAT, ♣MATEMATYKA
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Liczbyrzeczywiste
1.
Wykaza¢,»edladowolnych
a,b,c
2
R:
1.1.
a
2
+
b
2
2
ab
1.2.
a
2
+
b
2
+
c
2
ab
+
bc
+
ca
1.3.(
a
+
b
+
c
)
2
¬
3(
a
2
+
b
2
+
c
2
) 1.4.
p
a
2
+
b
2
+
c
2
¬|
a
|
+
|
b
|
+
|
c
|
1.5.(
a
+
b
+
c
)
2
3(
ab
+
bc
+
ca
) 1.6.
a
3
+
b
3
+
c
3
3
abc
(
a
+
b
+
c
0)
2.
Wykaza¢,»enast¦puj¡celiczbynies¡liczbamiwymiernymi:
p
p
6
,
1+
p
2
,
3
p
4
,
3
p
2+
p
3
3.
Wykaza¢,»edladowolnych
a,b
2
R
,a<b
istnieje
c
2
R
a<c<b
,takie»e
1)
c
2
Q 2)
c
2
R
\
Q
4.
Znale¹¢sup
A,
inf
A
4.1.
A
=
{
x
2
R:
x
2
−
4
x
+3
<
0
}
4.2.
A
=
{
x
2
R:
||
x
−
1
|−
1
|
<
1
}
4.3.
A
=
{
x
2
R:
x
3
−
2
x<
2
−
x
2
}
4.4.
A
=
{
x
2
R:
x
=sin
t
+cos
t,t
2
[0
,
]
}
4.5.
A
=
{
x
2
R:
x
=
a
sin
t
+
b
cos
t,a,b>
0
,t
2
R
}
4.6.
A
=
{
x
2
R:
x
=
n
n
+1
,n
2
N
}
1
3
,
4.7.
A
=
{
x
2
R:
x
=
(
−
1)
n
n
+
1+(
−
1)
n
2
,n
2
N
}
4.8.
A
=
{
x
2
R:
x
=
n
−
1
n
cos
2
n
3
,n
2
N
}
4.9.
A
=
{
x
2
R:
x
=
t
|
t
|
+1
,t
2
R
}
t
,t
2
R
,t
6
=0
}
4.11.
A
=
{
x
2
R:
x
=
m
n
+
n
m
,m,n
2
N
,m<n
}
5.
Sprawdzi¢,czy
5.1.sup(
A
[
B
)=sup
A
+sup
B
5.2.sup(
A
\
B
)=sup
A
+inf
B
5.3.sup(
A
+
B
)=sup
A
+sup
B
5.4.sup
A
=
−
inf(
−
A
)
5.5.sup
A
=
sup
A,
(
>
0)
5.6.sup
A
=
−
inf
A,
(
<
0)
5.7.sup(
A
[
B
)=max[sup
A,
sup
B
]
5.8.sup(
A
\
B
)=min[sup
A,
sup
B
]
5.9.sup(
A
+
b
)=sup
A
+
b
5.10.sup
;
=inf
;
=0
2
4.10.
A
=
{
x
2
R:
x
=
sin
t
Funkcje
6.
Znale¹¢dziedzin¦naturaln¡funkcji
f
(
x
2
R
z
2
C).
6.1.
f
(
x
)=arcsin(1
−
2
x
2
) 6.2.
f
(
x
)=log
p
1
−
2sin3
x
s
q
x
+1
x
6.3.
f
(
x
)=
lg
1
2
6.4.
f
(
x
)=
lg
x
(2
−
x
)
6.5.
f
(
x
)=arcsin
2
(2log
x
−
1) 6.6.
f
(
x
)=arcsin(
x
+1)+
p
x
−
x
2
6.7.
f
(
x
)=
q
[
x
]
−
x
6.8.
f
(
x
)=log
x
+log(
−
x
)
6.9.
f
(
z
)=
1
Rez
+
Imz
+
i
1
Rez
−
Imz
6.10.
f
(
z
)=
q
Rez
−|
z
|
7.
Zbada¢parzysto±¢(nieparzysto±¢)funkcji
f
.
7.1.
f
(
x
)=
x
sin
2
x
7.2.
f
(
x
)=
x
log
|
x
|
7.3.
f
(
x
)=2
|
x
|
7.4.
f
(
x
)=arccos
x
−
2
7.5.
f
(
x
)=
p
x
1+
x
2
7.6.
f
(
x
)=
x
log
1
−
x
1+
x
8.
Wyznaczy¢funkcjeodwrotnedodanychfunkcji:
8.1.
y
=
3
p
x
+1 8.2.
y
=2arcsin
x
+1
x
8.3.
y
=lg
x
2 8.4.
y
=32
x
+1
+2
8.5.
y
=arcsin(log
x
+1)+2 8.6.
y
=
x
1+
|
x
|
8.7.
y
=
|
x
|
+2
x
8.8.
y
=2
x
−
2
−
x
3
9.
Naszkicowa¢wykresyfunkcji:
9.1.
f
(
x
)=
x
+
|
x
|
9.2.
f
(
x
)=
1
x
9.3.
f
(
x
)=
p
1
−
2
x
9.4.
f
(
x
)=
p
1
−
x
2
9.5.
f
(
x
)=2sin3
x
9.6.
f
(
x
)=sin
x
+
|
sin
x
|
9.7.
f
(
x
)=arccos2
x
−
arcsin2
x
9.8.
f
(
x
)=arcsin
x
+arcsin(
x
−
1)
9.9.
f
(
x
)=cos(arccos
x
) 9.10.
f
(
x
)=arccos(cos
x
)
9.11.
f
(
x
)=arctg
1
x
9.12.
f
(
x
)=sin(arccos
x
)
9.13.
f
(
x
)=log3
x
9.14.
f
(
x
)=lg
2
x
+lg
1
2
x
9.15.
f
(
x
)=
|
log
x
2
|
9.16.
f
(
x
)=lg
x
x
9.17.
f
(
x
)=
|
2
|
x
−
1
|
−
1
|
9.18.
f
(
x
)=2
−
x
2
9.19.
f
(
x
)=
|
lg
|
x
|
2
|
9.20.
f
(
x
)=lg
2
4
x
+2
lg
4
x
2
10.
Obliczy¢:
2
10.2. arccos(
−
1
2
) 10.3. arctg(
−
p
3)
10.4. sin(arccos
3
4
)10.5. cos(2arcsin
1
5
)10.6. sin(arctg
1
2
)
4
10.1. arcsin
1
Ci¡gi
11.
Korzystaj¡czdefinicjigranicyzbada¢zbie»no±¢ci¡gu(
a
n
).
11.1.
a
n
=
n
+2
2
n
−
1
11.2.
a
n
=
1+(
−
1)
n
n
11.3.
a
n
=
n
2
n
+
i
n
n
+1
p
2
+
i
1
3
11.4.
a
n
=
n
2
−
n
11.5.
a
n
=cos
n
11.6.
a
n
=(
2
)
n
12.
Obliczy¢granice:
12.1. lim
n
!1
(
n
+1)
2
2
n
2
12.2. lim
n
!1
(
n
+1)
3
−
(
n
−
1)
3
(
n
+1)
2
+(
n
−
1)
2
p
n
2
+1+
n
)
2
3
p
4
p
n
5
+2
−
3
p
n
2
+1
12.3. lim
n
!1
12.4. lim
n
!1
5
p
n
4
+2
−
2
p
n
6
+1
n
3
+1
12.5. lim
n
!1
n
+1
−
n
3
n
2
12.6. lim
n
!1
(
n
+2)
10
−
n
10
−
20
n
9
n
8
−
2
n
4
+1
n
2
+1
n
!1
(
p
n
+2
−
p
n
−
1) 12.8. lim
n
!1
(
p
2
n
2
−
3
n
+1
−
n
p
2)
q
n
(
n
−
p
n
2
−
1) 12.10. lim
n
!1
n
p
n
(
p
n
+1+
p
n
−
1
−
2
p
n
)
12.9. lim
n
!1
12.11. lim
n
!1
log
n
2
log
n
3
12.12. lim
n
!1
log
3
n
2
log
2
n
3
12.13. lim
n
!1
lg
2
n
log
4
n
12.14. lim
n
!1
lg
n
2
lg
3
n
12.15. lim
n
!1
n
!
(
n
+1)!
−
n
!
12.16. lim
n
!1
1
n
2
(1+2+
...
+
n
)
1
−
2+3
−
4+
...
−
2
n
!
12.17. lim
n
!1
p
n
2
+1
5
(
12.7. lim
[ Pobierz całość w formacie PDF ]