pochodne i całki, Java, Fizyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Fakt 4.1.4 (pochodne ważniejszych funkcji elementarnych)
Funkcja
Pochodna
Zakres zmienności
c
0
c
*
R
x
nx
n
1
n
* N,
x
* R
x
px
p
1
p
* {-1, -2, -3, ...},
x
( 0
x
x
1
$ * R, x > 0
sin
x
cos
x
x
*
R
cos
x
sin
x
x
*
R
Funkcja
Pochodna
Zakres zmienności
tg
x
1
"
1
tg
2
x
x
(
k
,
gdzie
k
*
Z
2
cos
2
x
ctg
x
1
"
1
ctg
2
x
x
( ,
k
gdzie
k
*
Z
sin
2
x
a
x
a
x
ln
a
0 <
a
( 1,
x
* R
e
e
x
x
*
R
sh
x
ch
x
x
*
R
ch
x
sh
x
x
*
R
th
x
1
x
*
R
ch
2
x
cth
x
1
x
( 0
sh
2
x
arc
sin
x
1
x
!
1
1
x
2
arccos
x
1
x
x
!
1
1
2
arctg
x
1
x
*
R
1
x
2
arcctg
x
1
x
x
*
R
1
2
log
a
x
1
0 <
a
( 1,
x
* R
x
ln
a
ln
x
1
x
> 0
x
Uwaga
. Do obliczania pochodnych funkcji postaci
f
oraz
log
g
stosujemy wzory:
f
f
g
"
e
g
ln
f
ln
g
log
g
"
f
ln
f
n
p
x
g
Fakt 4.5.3 (pochodne wyższych rzędów ważniejszych funkcji)
Funkcja
n
-ta pochodna
Zakres zmienności
e
x
e
x
x
*
R
sin
x
sin
-
x
n
1
x
*
R
2
cos
x
cos
-
x
n
1
x
*
R
2
x
m
m
!
x
m
n
n
' ,
x
*
R
(
m
)!
n
1
(
1
n
n
!
x
(
0
x
x
n
1
ln
x
(
1
n
1
(
n
)!
1
x
#
0
x
n
+
/
+
/
m
Fakt 7.2.4 (całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych)
Funkcja
Całka nieoznaczona
Zakres zmienności
0
C
x
*
R
x
n
x
n
1
n
* N ) {0},
x
*
R
C
n
1
x
p
x
p
1
p
* {-2, -3, -4, ...},
x
( 0
C
p
1
x
x
1
*
R
\
{
1
},
x
#
0
C
1
1
ln
x
C
x
(
0
x
a
x
a
x
0 <
a
( 1,
x
*
R
C
ln
a
e
x
e
x
C
x
*
R
sin
x
cos
x
C
x
*
R
cos
x
sin
x
C
x
*
R
Funkcja
Całka nieoznaczona
Zakres zmienności
1
ctg
x
C
x
( ,
k
gdzie
k
*
Z
sin
2
x
1
tg
x
C
x
(
k
,
gdzie
k
*
Z
2
cos
2
x
1
arctg
x
C
lub
-
arcctg
x
C
x
*
R
1
x
2
1
arc
sin
x
C
lub
arc
cos
x
C
x
!
1
1
x
2
sh
x
ch
x
C
x
*
R
ch
x
sh
x
C
x
*
R
1
cth
x
C
x
(
0
sh
2
x
1
th
x
C
x
*
R
ch
2
x
Uwaga
. W powyższej tabeli symbol
C
oznacza dowolną stałą rzeczywistą.
Fakt 7.2.5 (tabela całek ważniejszych typów funkcji)
Wzór
Zakres zmienności
f
n
1
n
*
N
)
%
0
.
f
n
(
x
)
f
/
(
x
)
dx
"
C
n
1
f
/
(
x
)
f
( (
x
)
0
.
dx
"
ln
f
(
x
)
C
f
(
x
)
f
/
(
x
)
1
f
( (
x
)
0
.
dx
"
C
f
2
(
x
)
f
(
x
)
.
e
f
(
x
)
f
/
(
x
)
dx
"
e
f
x
)
C
x
*
D
f
f
/
(
x
)
f
( #
x
)
0
.
dx
"
2
f
(
x
)
C
f
(
x
)
Uwaga
. Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z reguł różniczkowania funkcji złożonych oraz definicji całki nieoznaczonej.
(
[ Pobierz całość w formacie PDF ]