Pochodne cząstkowe, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->POCHODNE CZĄSTKOWENiechX =K,{e1, ..., en} – baza kanonicznaKn,UTopKn,f:UY,xU,x�½x10,x2, ...,xnn(czylix-punkt należący do zbioruUotwartego wKn).Wtedyj-tą pochodną cząstkowąfunkcjifw punkciexnazywamy pochodną kierunkowąDejf xw kierunku wektoraeji oznaczamy fx:�½Dejf x.xj  Zatemfxxj z def.pochodnejkierunkowej�½limtf xtejf(x)t�½limtf x10,x2, ...,x1,xt,x1, ... ,xnf(x10,x2, ...,xn)jjjtPrzykładNiechf:R2Rx,fx,y�½ 0,gdygdyy�½0,y0.Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcjifw punkciex�½0, 0.f0,0�½limft,0f0, 0�½limft, 0f0, 0�½limt�½lim1�½1ttttxtttf0, 0�½limf0, 0tf0, 0�½limf0,tf0, 0�½lim 0�½lim 0�½ttttxtttZwiązek między istnieniem pochodnych kierunkowych a ciągłością funkcjiUwaga1. Istnienie pochodnych cząstkowych w punkcie nie zapewnia ciągłości funkcji w tympunkcie.2. Istnienie pochodnej kierunkowej funkcji w punkcie w kierunku dowolnego wektora(unormowanego) nie zapewnie ciągłości funkcji w tym punkcie.1PrzykładNiechf:R2R1, gdyx�½0 luby�½0,fx,y�½ 0, w przeciwnym przypadku.Wtedy istnieją pochodne cząstkowe funkcjifw punkcie (0, 0), choć funkcja nie jest ciągła wtym punkcie.PrzykładNiechf:R2Rx3y,fx,y�½ x6y20,gdygdy(x,y)(0, 0),(x,y)�½(0, 0).Zbadać ciągłość funkcjiforaz wyznaczyć pochodną kierunkową w kierunku dowolnegowektora w punkciex�½0, 0.Niechv�½v1,v20 ,v- niezerowy wektor unormowany, tzn.v�½1 .Wtedyt4v1v262f0, 0tv1,v2f0, 0ftv1,tv2f0, 0t6v1t2v2Df0, 0�½lim�½lim�½lim�½tttvttt330, gdyv2�½t4v1v2v1v2�½lim3 4 6�½limt4 6�½�½�½2tt t vv2t0, gdyv2t v1v2123Udowodniliśmy, że istnieje pochodna kierunkowa funkcji w punkcie (0,0) w kierunkudowolnego wektora.1 1Jednakże funkcja nie jest ciągła w tym punkcie, bo dla ciąguxn,yn�½ ,3n nnN:xn0,yn0;limxn,yn�½(0, 0)noraz161limfxn,yn�½limn�½ �½f0, 0,nn1262nzatem na podstawie definicji HeinegofC0, 0.opracował Jacek Zańko2 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • tlumiki.pev.pl