Podstawy Algebry - mega książka, uczelnia, Algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Spistre±ci
Stronagłówna
Zamiastprzedmowy
..................................................... 3
Bibliografia–czyligdzieautorszukałnatchnienia
..................................... 4
1Pocz¡tkialgebry
6
Stronatytułowa
2Poj¦cieodwzorowanialiniowego
15
3Układyliniowychrówna«;metodaGaussa;wyznaczniki
17
3.1Układrówna«liniowych
................................................17
3.1.0.1Macierze
................................................18
3.2MetodaGaussa
.....................................................19
3.3Wyznacznikdrugiegoitrzeciegostopnia
.......................................22
3.3.1TwierdzenieCramera
..............................................24
3.4Algebrawyznaczników
.................................................24
3.4.0.1Własno±ciwyznaczników
.......................................26
3.5Układrówna«jednorodnych
..............................................28
Spistre±ci
JJ
II
J
I
4Algebrawektorów–dwaitrzywymiary
30
4.1Podstawowedefinicje;dodawaniewektorów
......................................30
4.2Iloczynskalarny
.....................................................34
4.3Iloczynwektorowy
...................................................36
4.4Iloczynytrzechwektorów
................................................40
4.5Obrótwektoranapłaszczy¹nie
.............................................42
Strona
1
z
187
Powrót
5Liczbyzespolone
46
5.1Liczbyzespolone–troch¦historii
...........................................46
5.2Algebraliczbzespolonych
...............................................48
5.2.1Reprezentacjabiegunowaliczbyzespolonej;liczbazespolonasprz¦»ona;dzielenieliczbzespolonych
...49
5.2.2WzórdeMoivre’a;liczbyzespoloneiwzorytrygonometryczne
.......................53
5.3Pot¦gaipierwiastekliczbyzespolonej
.........................................53
5.4Obrótwektoranapłaszczy¹nie
............................................56
FullScreen
Zamknij
6Przestrzeniewektorowe
57
6.1Wprowadzenie
......................................................57
6.1.1Formyliniowe
..................................................59
Koniec
6.2Wektoryliniowozale»ne
................................................59
6.3Podprzestrze«wektorowa;baza
............................................63
6.4Rz¡dmacierzy
......................................................65
6.5Rz¡dmacierzyinaczej–diagonalizacjamacierzy
...................................69
6.6Układyrówna«liniowych–podsumowanie
......................................71
6.6.1MetodaGaussa-Jordana
............................................73
6.6.2Układrówna«jednorodnych
..........................................75
6.6.3Układrówna«niejednorodnych,aukładrówna«jednorodnych
.......................76
6.7Aksjomatycznedefinicjeprzestrzeniwektorowej
...................................77
6.7.0.1Grupaiciało
.............................................77
6.7.0.2Przestrze«wektorowa
........................................78
Stronagłówna
7Algebramacierzy
80
7.1Macierze;podstawowedefinicjeioperacje
.......................................80
7.1.1Dodawaniemacierzy
..............................................81
7.1.2Mno»eniemacierzyprzezliczb¦
........................................82
7.1.3Mno»eniemacierzy
...............................................82
7.1.4Macierztransponowana
.............................................84
7.1.5Macierzodwrotna
................................................84
7.1.6Macierzodwrotna–metodaGaussa-Jordana
.................................88
7.1.7Macierzijejwyznacznik;interpretacjageometrycznawyznacznika
.....................89
7.2Rz¡diloczynumacierzy–twierdzenieSylvestra
...................................91
Stronatytułowa
Spistre±ci
JJ II
8Formykwadratowe
93
8.1Wprowadzenie
......................................................93
8.2Definicjaiwłasno±ciformykwadratowej
.......................................95
8.3Prawobezwładno±cidlaformkwadratowych
.....................................100
8.3.0.1Formakwadratowaaformyliniowe
.................................100
8.4Formykwadratoweokre±lonedodatnio
........................................101
8.5Formykwadratowewfizyce
..............................................103
J I
Strona
2
z
187
9Odwzorowania
105
9.1Wprowadzenie
......................................................105
9.2Injekcja,surjekcja,bijekcja.Izomorfizm
........................................105
9.2.1Zło»enieodwzorowa«
..............................................107
9.3Odwzorowaniaimacierze
................................................107
9.4J¡droiobraztransformacji
...............................................110
9.4.1BazaImg
T
iker
T
...............................................111
9.4.1.1BazaImg
T
..............................................112
9.4.1.2Bazaker
T
..............................................113
9.5„Twierdzenieowymiarach”
..............................................114
9.6
IR
n
!
IR
n
;zmianabazy
................................................115
9.7Transformacjaliniowaijejmacierz
..........................................118
Powrót
FullScreen
Zamknij
Koniec
10PrzestrzenieEuklidesowe;iloczynskalarny;ortogonalno±¢
120
10.1Najwa»niejszaformakwadratowaprzestrzeniwektorowej
..............................120
10.2Ortogonalizacjaukładuwektorówliniowoniezale»nych
...............................121
10.2.1Reprezentacjamacierzywokre±lonejbazie
..................................124
10.3Nierówno±¢Schwarza;nierówno±¢trójk¡ta
......................................125
10.4Ortogonalno±¢macierzy
................................................126
10.5Transformacjapodobie«stwa
..............................................128
10.6Macierzysymetryczneiantysymetryczne;macierzehermitowskieiunitarne
....................130
10.6.1Zespoloneprzestrzenieliniowe
.........................................131
Stronagłówna
11Problemwłasny
132
11.1Pierwiastkicharakterystyczneiwarto±ciwłasnemacierzy
..............................132
11.1.1Niezdegenerowanewarto±ciwłasne
......................................135
11.2Problemwłasnyadiagonalizacjamacierzy
......................................135
11.3Odwzorowaniasymetryczne
..............................................136
11.4Sprowadzanieformykwadratowejdoukładuosigłównych
..............................139
11.4.0.1Znajdowanieodwzorowania,sprowadzaj¡cegokwadratow¡form¦doosigłównych
.......140
Stronatytułowa
Spistre±ci
12Troch¦fizyki
143
12.1Pot¦gaodwzorowanialiniowego
............................................143
12.2Diagonalizacja
......................................................147
12.2.1Wektorywłasnemacierzy
...........................................147
12.3Momentbezwładno±ciciałasztywnego
........................................150
12.4Przestrzeniefunkcyjneiichortogonalnebazy
.....................................153
12.4.1Układywspółrz¦dnychkrzywoliniowych
....................................153
12.4.2Przestrzeniefunkcyjne–pierwszekroki
....................................155
JJ II
J I
13Wst¦pdorachunkutensorowego
162
13.1Wprowadzenie
......................................................162
13.2Kowariantno±¢ikontrawariantno±¢
..........................................163
13.2.1Formaliniowa
..................................................166
13.2.2Gradientjakowektorkowariantny
.......................................167
13.3Tensory–podstawowedefinicje
............................................168
13.4Podstawoweoperacje:dodawanie,mno»enie,kontrakcja
...............................169
13.5Tensoryantysymetryczneisymetryczne;iloczynwektorowy
.............................170
13.6Tensordeformacjiitensornapr¦»e«
..........................................172
13.6.1Tensordeformacji
................................................173
13.6.2Tensornapr¦»e«
.................................................174
13.7Ró»niczkowanietensorów
................................................180
13.7.1Gradient
.....................................................180
13.7.2Ró»niczkowaniepolawektorowego
.......................................181
13.8Niezwykłeprzygodykropelkiwody
..........................................183
13.8.1Operatorrotacjiawirowo±¢
..........................................185
Strona
3
z
187
Powrót
FullScreen
Zamknij
Koniec
Spisrysunków
Stronagłówna
1.1Iloczyn
ab
dwóchliczbikwadrat
a
2
.
.......................................... 8
1.2Kwadratdwumianu
a
+
b
wj¦zykugeometrii.
.................................... 9
1.3Geometrycznametodarozwi¡zywaniarównaniapierwszegostopnia.
........................ 9
1.4Geometrycznyzapisrównania
x
2
+
b
2
=
ax
.
.....................................10
1.5Konstrukcjageometrycznadlaznalezienia
x
zRys.1.4
...............................10
1.6Uzasadnieniewzoru1-2.
................................................10
1.7Pomocniczerysunkidorównania
x
2
+
ax
=
b
2
.
...................................11
1.8Równanie
x
2
+10
x
=39.
...............................................12
1.9Równanie
x
2
+10
x
=39inaczej.
...........................................13
Stronatytułowa
Spistre±ci
3.1Wyznaczniktrzeciegostopnia–dodatnieiujemneprzyczynki.
...........................24
JJ II
4.1Dodawaniewektorów:
A
+
B
=
C
–regułatrójk¡ta.
...............................31
4.2Dodawaniewektorów:
A
+
B
=
C
–regułarównoległoboku.
...........................31
4.3Dodawaniewektorów–zasadaprzemienno±ciił¡czno±ci.
..............................32
4.4Rozkładwektora
V
nawspółrz¦dne:
=
\
(0
x,
V
)
,
=
\
(0
y,
V
)
,
=
\
(0
z,
V
).
.............................32
4.5Iloczynwektorowy.
...................................................37
4.6Interpretacjageometrycznailoczynuwektorowego–polerównoległoboku.
.....................39
4.7Interpretacjageometrycznailoczynumieszanego–obj¦to±¢równoległo±cianu.
..................41
4.8Współrz¦dnewektorawdwóchró»nychukładachwspółrz¦dnych.
.........................42
J I
Strona
4
z
187
5.1Dodawanieliczbzespolonychnapłaszczy¹nieArganda.
...............................48
5.2Mno»enieliczbyzespolonejprzez
i
.
..........................................49
5.3Mno»eniedwóchliczbzespolonych.
..........................................50
5.4Współrz¦dnebiegunowenapłaszczy¹niezespolonej.
.................................50
5.5Liczbazespolonasprz¦»o
na
.
..............................................52
Powrót
5.6Pierwiastekzespolony:
6
p
FullScreen
1.
..............................................56
6.1Wektor
C
jakoró»neliniowekombinacjeniewspółliniowychwektorów
A
i
B
.
..................60
7.1Wynikzło»eniadwóchobrotówok¡t
/
2wokółosi0
y
i0
z
zale»yodichkolejno±ci.
...............83
7.2Przekształceniewersorówosirealizowaneprzezmacierz
M
.
............................90
7.3Polerównoległobokupowstałegozkwadratuoboku1równejest
ad-bc
.
.....................91
Zamknij
Koniec
9.1Surjekcja,alenieinjekcja:
T
(
A
)=
T
(
B
)oraz
T
(
C
)=
T
(
D
).
............................106
9.2Injekcja,aleniesurjekcja;niemarozwi¡za«dla
T
(
x
)=
A
i
T
(
x
)=
B
.
......................106
9.3Rzutowaniewektoranao±0
x
.
.............................................109
10.1Inwersjaukładuwspółrz¦dnychwprzestrzeni3-wymiarowej.
............................127
12.1Ruchdrgaj¡cypoddziałaniemsiłyharmonicznej.
..................................143
12.2Ruchdrgaj¡cypoddziałaniemsiłyharmonicznej–dwiemasy.
...........................145
12.3Nowyukładwspółrz¦dnych–osie0
x
i0
y
zostałyobrócone(wkierunkuujemnym)o45
o
.
............149
12.4Punkt
P
(
x
0
1
,x
0
2
,x
0
3
)jakopunktprzeci¦ciatrzechprostopadłychpłaszczyzn.
....................153
12.5Układywspółrz¦dnych:sferycznych(a)icylindrycznych(b).
............................154
12.6Najwi¦kszadługo±¢falistoj¡cejpowstaj¡cejwstrunieodługo±ci
L
.
.......................156
12.7Druganajwi¦kszadługo±¢falistoj¡cejpowstaj¡cejwstrunieodługo±ci
L
.
....................156
12.8Pi¡tanajwi¦kszadługo±¢falistoj¡cejpowstaj¡cejwstrunieodługo±ci
L
.
....................157
12.9Pobudzeniestrunydodrga«poprzezodci¡gni¦ciejejdokształtutrójk¡tnego.
..................157
12.10Pobudzeniestrunydodrga«poprzezodci¡gni¦ciejejdokształtuparabolicznego.
................160
Stronagłówna
Stronatytułowa
13.1Inwersjaukładuwspółrz¦dnychwprzestrzeni3-wymiarowej–wektorbiegunowy.
................171
13.2Inwersjaukładuwspółrz¦dnychwprzestrzeni3-wymiarowej–wektorosiowy.
..................171
13.3Skierowanyelementpowierzchni
dS
i
(
i
=3).
.....................................175
13.4Tensornapr¦»e«
ik
.
..................................................176
13.5Deformacjapr¦ta.
...................................................177
13.6Deformacja±cinania.
..................................................179
13.7Ilustracjaoblicze«całkowitegostrumieniapolawektorowegodlapewnejpowierzchniGaussa.
..........182
13.8W¦drówkakropli.
....................................................183
13.9Wirpr¦dko±cicieczy.
..................................................186
13.10Jeszczejedenwirpr¦dko±cicieczy.
...........................................187
Spistre±ci
JJ II
J I
Zamiastprzedmowy
Strona
5
z
187
Ideategoopracowaniapojawiłasi¦dwalatatemu,kiedytoWydziałFizykiiTechnikiJ¡drowejwyst¡piłzinicjatyw¡utworze-
nianiestacjonarnychstudiów,dedykowanychwpierwszymrz¦dzieosobomniepełnosprawnym,aopartychnaprzygotowanych
przeznauczycieliakademickichWydziałumateriałachdydaktycznych,zamieszczonychwInternecie.Opracowanyprogramstu-
diów(komputerowafizykatechniczna)pozostałprogramemwirtualnym–narazienieznalazłasi¦odpowiedniolicznagrupa
zainteresowanychosób.
Jednocze±niepowstałaideapewnej„reformy”sposobunauczaniamatematykistudentówpierwszychdwóchlatfizykitech-
nicznej.Opracowanydziesi¦¢lattemuprzezPTWykładowcówzWydziałuMatematykiStosowanej(główniepp.Kalinowski,
MarczykiWo¹niak)znakomityprogramnauczaniamiałjedn¡niedoskonało±¢–wtrakciepierwszegosemestrnasistudenci
wysłuchiwalisze±ciugodzinwykładuzmatematykiiodbywalisze±¢godzin¢wicze«rachunkowychztegoprzedmiotu.Cz¦sto
sp¦dzaliwi¦cokoło50%swoich„godzinkontaktowych”wtygodniuzjednymitymsamymWykładowc¡.WładzeWydziału
FizykiiTechnikiJ¡drowejAGH,wkonsultacjizSamorz¡demStudenckim,atak»eprzedstawicielamiWydziałuMatematyki
Stosowanej,postanowiłypowróci¢dotradycjiwydzieleniazogółuzagadnie«matematycznychelementówalgebrywy»szejira-
chunkutensorowegoorazpowierzy¢ichnauczanie–zgodnieztradycj¡uniwersyteck¡–fizykom.Oczywi±cie,tegotypudecyzja
Powrót
FullScreen
Zamknij
Koniec
[ Pobierz całość w formacie PDF ]