Podstawy fizyki kwantowej - zadania z rozwiÄ…zaniami, Studia - Budownictwo, Fizyka 2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozwi¡zania zada« z podstaw zyki kwantowej
Jacek Izdebski
5 stycznia 2002 roku
Zadanie 1
Funkcja falowa (x) = A
n
sin(
2
L
x) jest zdeniowana jedynie w obszarze
0 <= x <= L. Skorzystaj z warunku normalizacji do obliczenia staªej A
n
.
Rozwi¡zanie
Warunek normalizacji mówi o tym, »e caªka kwadratu moduªu funkcji fa-
lowej po caªej przestrzeni jest równa 1. Tutaj warunek b¦dzie miaª posta¢
nast¦puj¡c¡.
Z
L
2n
L
x
A
n
sin
2
dx = 1
0
Z
L
2n
L
x
A
n
sin
2
dx = 1
0
wykonamy zamian¦ zmiennych niech u =
2n
L
x wtedy
A
n
L
Z
2n
sin
2
(u)du = 1
2n
0
Obliczaj¡c caªk¦ dostajemy
1
Z
2n
1
2
sin u cos u +
1
2n
sin
2
(u)du =
2
u
= n
0
0
Podstawiaj¡c wynik do warunku normalizacji otrzymamy
A
n
L
2
= 1
co daje ostatecznie
s
2
L
A
n
=
1
Caªk¦ mo»na spisa¢ z tablic lub, je±li kto± chce, obliczy¢ metod¡ "przez cz¦±ci".
1
 Zadanie 2
jest rozwi¡zaniem równania
Schrodingera. Czy funkcja +
jest te» rozwi¡zaniem?
h
h
(pxEt)
i
Rozwi¡zanie
(x;t) = Ae
i
h
(pxEt)
warto zauwa»y¢, »e
(x;t) = Ae
i
h
px
e
i
h
Et
czyli
(x;t) = (x)e
i
h
Et
Funkcja falowa daªa si¦ rozªo»y¢ na dwia czynniki, z których jeden zale»y
wyª¡cznie od poªo»enia a drugi tylko od czasu. Je±li wykonamy teraz pod-
stawienie do równania Schrodingera
h
2
2m
r
2
(x;t) + U(x;t) = ih
@
(x;t)
@t
wi¦c
h
2
2m
e
i
h
Et
r
2
(x) + U (x)e
i
h
Et
= ih (x)
i
E
h
e
i
h
Et
dziel¡c stronami przez e
i
h
Et
otrzymamy
h
2
2m
r
2
(x) + U (x) = E (x)
Równanie to jest nazywane równaniem Schrodingera bez czasu i dotyczy
przypadków stacjonarnych tzn. takich gdzie potencjaª U nie zale»y od czasu.
2
Dajej pisz¡c o równaniu Schrodingera b¦d¦ miaª na my±li wªa±nie równanie
S. bez czasu. Podstawiaj¡c do tego równania jawnie funkcj¦
(x) = Ae
i
h
px
p
2
2m
+ U = E
2
Wtedy funkcj¦ falowo¡ daje si¦ rozªo»y¢ na dwa czynniki, z których jeden zale»y tylko
od poªo»enia a drugi tylko od czasu.
2
Udowodnij, »e (x;t) = A exp
i
dostajemy
Pomi¦dzy energi¡ kinetyczn¡ i p¦dem w zyce nierelatywistycznej zachodzi
zwi¡zek
E
k
=
mv
2
2
=
p
2
2m
wi¦c Równanie ma sens, dostali±my sum¦ energii potencjalnej i kinetycznej
równ¡ caªkowitej energii cz¡stki, co jest prawd¡.
Jak ªatwo obliczy¢ funkcja = +
ma posta¢
= 2A cos
1
h
(pxEt)
po obliczeniach dostajemy
2m
co, podobnie jak poprzednio, mo»na podstawi¢ do równania Schrodingera.
Otrzymamy wtedy
h
2
2m
r
2
=
p
2
p
2
2m
+ U
!
= E
Lewa strona jest sum¡ energii kinetycznej i potencjalnej a prawa jest caªko-
wit¡ energi¡ cz¡stki. Wynika z tego, »e lewa strona jest równa prawej czyli
funkcja = +
równie» speªnia równanie Schrodingera.
Zadanie 3
Zbadaj, czy (x;t) = A sin(kx!t) jest rozwi¡zaniem równania Schrodingera?
Rozwi¡zanie
Funkcj¦ mo»na wyrazi¢ te» wykorzystuj¡c zwi¡zki
E = h!
oraz
p = hk
Wtedy przybierze posta¢
= A sin
1
h
(pxEt)
Pozostaªo ju» tylko podstawienie do równania
h
2
2m
r
2
+ U = E
3
 i, podobnie jak w poprzednim zadaniu otrzymamy
p
2
2m
+ U
!
= E
Ostatecznie mo»emy wi¦c stwierdzi¢, »e funkcja speªnia równanie Schrodingera.
Zadanie 4
Wyznacz dozwolone warto±ci energii i funkcje falowe cz¡stki o masie m znaj-
duj¡cej si¦ w niesko«czenie gª¦bokiej, prostok¡tnej studni potencjaªu o sze-
roko±ci L.
Rozwi¡zanie
Sposobów rozwi¡zania jest kilka. Przedstawi¦ najprostszy. Aby dotyczyª te»
pozostaªych zada« przyjmijmy, »e potencjaª jest nast¦puj¡cy
8
<
+1 8x < 0
0 80 < x < L
+1 8x > L
V =
:
Tam gdzie potencjaª jest niesko«czenie du»y funkcja falowa nie istnieje. W
przedziale zerowego potencjaªu mog¡ wyst¦powa¢ funkcje falowe odpowia-
daj¡ce cz¡stce swobodnej poruszaj¡cej si¦ w prawo oraz cz¡stce swobodnej
poruszaj¡cej si¦ w lewo. Dodatkowo na brzegach studni funkcja falowa musi
znika¢. Potencjaª nie zale»y od czasu wi¦c zrezygnujemy z pisania czªonów
funkcji falowej zale»nych od czasu. Uwzgl¦dniaj¡c to mo»na napisa¢:
(x) = (x)
!
+ (x)
(0) = 0
(L) = 0
czyli
(x) = Ae
ikx
+ Be
ikx
Ae
ik0
+ Be
ik0
= Ae
ikL
+ Be
ikL
= 0
wynika z tego, »e A + B = 0 wi¦c B = A. Mo»na ju» zapisa¢ jako
(x) = A
e
ikx
e
ikx
4
Przechodz¡c do zapisu trygonometrycznego ma posta¢
(x) = 2Ai sin(kx)
W sposób naturalny dla (0) = 0 ale trzeba te» pami¦ta¢ o tym, »e (L) = 0
2Ai sin(kL) = 0 8k =
Z
L
4A
2
sin
2
(kx)dx = 1
0
po obliczeniu caªki
4A
2
1
k
2
sin(kx) cos(kx) +
1
L
2
kx
0
= 1
2A
2
L = 1
s
1
2L
Po uwzgl¦dnieniu warto±ci A oraz k funkcja przybiera posta¢
A =
s
2
L
sin
n
L
x
(x) = i
Co po uwzgl¦dnieniu czynnika zale»nego od czasu daje peªn¡ funkcj¦ falow¡
(x;t)
s
2
L
sin
n
L
x
(x;t) = i
e
i!t
Dziaªaj¡c hamiltonianem na funkcj¦ falow¡ dostajemy warto±ci energii dla
stanów wªasnych prostok¡tnej niesko«czonej studni kwantowej.
H = E
E jest warto±ci¡ wªasn¡ hamiltonianu, czyli energi¡ cz¡stki. Po podstawieniu
funkcji falowej otrzymamy
h
2
2m
r
2
2Ai sin(kx) =
2m
k
2
2Ai sin(kx)
czyli
h
2
2m
k
2
Energia cz¡stki po uwzgl¦dnieniu warto±ci k wyra»a si¦ wzorem
H =
E =
2mL
2
n
2
gdzie n = 1; 2; 3;:::
Warto zauwa»y¢, »e cz¡stka w studni potencjaªu nie mo»e przyjmowa¢ do-
wolnej energii. Poziomy energetyczne s¡ skwantowane.
5
L
n gdzie n = 1; 2; 3; 4 :::
Funkcj¦ falow¡ trzeba jeszcze unormowa¢:
1
h
2
h
2
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]