Podstawy metod numerycznych 5, PW TRANSPORT, Metody Numeryczne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Podstawymetodnumerycznych
Wykład 5
dr K. A. Smoli«ski
Wy»szaSzkołaInformatyki
rok akademicki 2007/2008
drK.A.Smoli«ski (WSInf) Podstawymetodnumerycznych
2007/2008 1/26
Ró»niczkowanieicałkowanienumeryczne
1
Ró»niczkowanie numeryczne
2
Interpolacja w całkowaniu numerycznym
Zastosowanie interpolacji wielomianowej
Wzór trapezów
Wzór Simpsona
Całki z funkcj¡ wagow¡
3
Kwadratury Gaussa
Wielomiany ortonormalne
Kwadratury Gaussa
Zmiana przedziału całkowania
Zbie»no±¢ i bł¡d
4
Metoda Romberga
Zbie»no±¢ metody Romberga
drK.A.Smoli«ski (WSInf) Podstawymetodnumerycznych
2007/2008 2/26
Ró»niczkowanienumeryczne
Ró»niczkowanienumeryczne
Potrafimy obliczy¢ warto±ci funkcji
f
w zadanych punktach. Czy mo»na
st¡d uzyska¢ przybli»enie pochodnej
f
0
(
c
)
lub całki
R
b
a
f
(
x
)
dx
?
Same warto±ci
f
(
x
0
)
,f
(
x
1
)
,...,f
(
x
n
)
nie mówi¡ wiele o funkcji, nawet
je»eli wiemy, »e jest ona rzeczywista i ci¡gła. Jednoznacznie wyznaczaj¡ j¡
tylko wtedy, gdy wiemy o niej, »e jest wielomianem stopnia nie wy»szego
drK.A.Smoli«ski (WSInf) Podstawymetodnumerycznych
2007/2008 3/26
ni»
n
— mo»emy obliczy¢
f
0
(
c
)
i
R
b
a
f
(
x
)
dx
dokładnie. W praktyce
sytuacja wygl¡da tak, »e informacje o funkcji
f
nie okre±laj¡ jej całkowicie,
ale poozwalaj¡ oszacowa¢ bł¡d obliczonych przybli»e« warto±ci
pochodnych lub całki.
Ró»niczkowanienumeryczne
Z definicji pochodnej wynika wzór ró»niczkowania numerycznego
h
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)]
.
Dla funkcji liniowej jest on dokładny dla ka»dego
h
6
=0
, dla innych funkcji
jest tak wyj¡tkowo.
Bł¡d przybli»enia mo»emy oszacowa¢ ze wzoru Taylora: Je»eli
f
0
jest
ci¡gła na
[
x,x
+
h
]
, a
f
00
istnieje na
(
x,x
+
h
)
, to
f
0
(
x
)
1
f
(
x
+
h
) =
f
(
x
) +
hf
0
(
x
) +
1
2
h
2
f
00
(
)
,
sk¡d
h
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)]
−
1
2
hf
00
(
)
.
Składnik
−
1
2
hf
00
(
)
nazywamy
bł¦dem obci¦cia
.
drK.A.Smoli«ski (WSInf) Podstawymetodnumerycznych
2007/2008 4/26
f
0
(
x
) =
1
Ró»niczkowanienumeryczne
Przykład
Znajd¹ przybli»on¡ warto±¢ pochodnej funkcji
f
(
x
) =cos
x
w punkcie
4
,
przyjmuj¡c
h
=0
.
01
.
Przybli»eniem szukanej warto±ci jest
0
.
7000005
−
0
.
7071068
0
.
01
=
−
0
.
7106301
,
a jej bł¡d wynosi
1
2
hf
00
(
)
=0
.
005
|
cos
|
0
.
005
|
cos
4
|
3
.
5355338
10
−
3
.
drK.A.Smoli«ski (WSInf) Podstawymetodnumerycznych
2007/2008 5/26
[ Pobierz całość w formacie PDF ]