PodstawyAutomatyki c, Automatyka i robotyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. Obliczanie transmitancji zastępczej
układu
Zadanie 1.1
Oblicz transmitancję zastępczą układu z rysunku.
G1
=
s
2
2
s
2
8
s
6
G2
=
4
s
2
4s
G3
=
s
2
3s2
s
3
Obliczanie transmitancji zastępczej polega na kolejnym upraszczaniu schematu stosując
odpowiednie wzory. W tym przykładzie jedyną możliwością jest policzenie transmitancji zastępczej
sprzężenia zwrotnego obejmującego transmitancję G2. Nowy obiekt (zaznaczony na rysunku)
nazwany zostanie G4.
Wówczas schemat można przerysować w postaci:
a transmitancja G4 jest dana wzorem:
G4
=
G2
G2
1
podstawiając wartości otrzymuje się:
4
s
2
4s
1
4
s
2
4s
4
s
2
4s
1
4
s
2
4s
4
s
2
4s
⋅
s
2
4s
1
4
G4
=
=
s
2
4s
=
s
2
4s
⋅
s
2
4s
=
4
s
2
4s4
=
4
s
2
4s4
=
4
s
2
2
Po obliczeniu transmitancji G4 można jedynie obliczyć połączenie szeregowe transmitancji G1, G4
i G3. Co oznaczono na rysunku.
⋅
s
2
4s
Wówczas schemat można przerysować w postaci:
Transmitancję G5 oblicza się ze wzoru:
G5
=
G1
⋅
G4
⋅
G3
i po podstawieniu wartości otrzymuje się:
G5
=
s
2
2
s
2
8
s
6
⋅
4
s
2
2
⋅
s
2
3s2
s
3
=
s
2
2
s
2
4
s
3
⋅
4
s
2
2
⋅
s
1
s
2
s
3
=
2
s
1
s
3
⋅
4
s
2
2
⋅
s
1
s
2
s
3
=
1
2
s
1
s
3
⋅
4
s
2
⋅
s
1
s
2
s
3
=
=
1
2
s
3
⋅
4
s
2
⋅
s
2
s
3
=
1
2
s
3
⋅4⋅
1
s
3
=
1
s
3
⋅2⋅
1
s
3
=
2
s
3
2
Pozostało policzyć transmitancję zastępczą dodatniego sprzężenia zwrotnego co zobrazowano na
rysunku.
Wówczas schemat można narysować jako pojedynczą transmitancję, co pokazano na poniższym
rysunku.
Transmitancję G6 oblicza się ze wzoru:
G6
=
G5
1−
G5
Po podstawieniu wartości otrzymuje się:
2
s
3
2
1−
2
s
3
2
2
s
3
2
1−
2
s
3
2
2
s
3
2
⋅
s
3
2
1−
2
G6
=
=
⋅
s
3
2
s
3
2
=
⋅
s
3
2
=
2
s
3
2
−
2
s
3
2
⋅
s
3
2
=
s
3
2
s
2
6s9−2
=
2
s
2
6s7
i otrzymano transmitancję zastępczą całego układu.
=
s
2
=
2
Zadanie 1.2
Oblicz transmitancję zastępczą układu z rysunku.
G1
=
s
2
s
s
2
5s6
G2
=
9
s
3
2
G3
=
s
2
8s12
3s3
W tym przykładzie (podobnie jak w zadaniu 1) jedyną możliwością jest policzenie transmitancji
zastępczej dodatniego sprzężenia zwrotnego obejmującego transmitancję G2. Nowy obiekt
(zaznaczony na rysunku) nazwany zostanie G4.
Wówczas schemat można przerysować w postaci:
a transmitancja G4 jest dana wzorem:
G4
=
G2
1−
G2
podstawiając wartości otrzymuje się:
9
s
3
2
1−
9
s
3
2
9
s
3
2
1−
9
s
3
2
9
s
3
2
⋅
s
3
2
1−
9
G4
=
=
s
3
2
=
⋅
s
3
2
=
9
s
3
2
−9
=
s
3
2
s
2
6s9−9
=
9
s
2
6s
Po obliczeniu transmitancji G4 można jedynie obliczyć połączenie szeregowe transmitancji G1, G4
i G3. Co oznaczono na rysunku.
⋅
s
3
2
=
9
Wówczas schemat można przerysować w postaci:
Transmitancję G5 oblicza się ze wzoru:
G5
=
G1
⋅
G4
⋅
G3
i po podstawieniu wartości otrzymuje się:
G5
=
s
2
s
s
2
5s6
⋅
9
s
2
6s
⋅
s
2
8s12
3s3
=
s
s
1
s
2
s
3
⋅
9
s
s
6
⋅
s
2
s
6
3
s
1
=
s
2
s
3
⋅
9
s
s
6
⋅
s
2
s
6
3
=
s
s
3
⋅
9
s
s
6
⋅
s
6
3
=
s
s
3
⋅
9
s
⋅
1
3
=
1
s
3
⋅9⋅
1
3
=
=
3
s
3
Pozostało policzyć transmitancję zastępczą ujemnego sprzężenia zwrotnego co zobrazowano na
rysunku.
Wówczas schemat można narysować jako pojedynczą transmitancję, co pokazano na poniższym
rysunku.
Transmitancję G6 oblicza się ze wzoru:
G6
=
G5
G5
1
Po podstawieniu wartości otrzymuje się:
3
s
3
3
s
3
⋅
s
3
3
G6
=
=
⋅
s
3
=
3
3
3
s
3
=
3
s
6
s
3
1
s
3
1
s
3
⋅
s
3
s
3
i otrzymano transmitancję zastępczą całego układu.
=
s
3
=
3
2. Obliczanie odpowiedzi impulsowych i
skokowych transmitancji
Zadanie 2.1
Oblicz i narysuj odpowiedź impulsową obiektu o transmitancji
G
s
=
2
s
2
Zadanie polega na obliczeniu wzoru w postaci rzeczywistej (gdzie dziedziną jest czas) sygnału
wyjściowego y(t) gdy na wejście podano sygnał wejściowy w postaci delty Dirac'a (impuls). Czyli
u
t
=
t
. Obliczenia są wykonywane w dziedzinie liczb zespolonych (po transformacji
Laplace'a). Sygnał wejściowy u(t) należy przetransformować do postaci zespolonej, czyli:
u
t
=
t
→
U
s
=1
Badany układ można przedstawić graficznie:
Z definicji transmitancji wiemy, że:
G
s
=
Y
s
U
s
Przekształcając powyższy wzór otrzymuje się wzór na sygnał wyjściowy Y(s) w postaci zespolonej.
Y
s
=
G
s
⋅
U
s
By obliczyć sygnał Y(s) potrzeba:
–wartości transmitancji (dane w zadaniu)
–wartości sygnału sterującego U(s) w postaci zespolonej (obliczone wcześniej)
Podstawiając do wzoru te wartości otrzymuje się:
Y
s
=
2
s
a
e
−
a t
Przekształcając wzór na Y(s) otrzymano (liczbę stałą można wyłączyć przed transformatę –
analogicznie jak przy liczeniu np. pochodnej):
Y
s
=2⋅
1
s
2
1
Korzystając ze wzoru
s
a
e
−
a t
otrzymuje się ostatecznie:
y
t
=2
e
−2
t
By naszkicować wykres funkcji y(t) zastosowano pakiet Matlab/Simulink. Przebieg sygnału
wyjściowego przedstawiono na poniższym rysunku.
s
2
⋅1=
2
s
2
Wyrażenie powyższe to wzór SYGNAŁU WYJŚCIOWEGO (który jest taki sam jak dana
transmitancja) w postaci zespolonej. Sygnał ten należy przetransformować do postaci rzeczywistej,
korzystając z tabeli z wykładu. Najbardziej podobnym wzorem jakiego należy użyć jest wzór:
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]