Pogorzelski W - Równania całkowe i ich zastosowania. T 2. '58, SZKOŁA ŚREDNIA I NIE TYLKO (uczenie), Matematyka, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->WI TOLD P O GOR Z EL S KIRÓWNANIA CAŁKOWEI ICH ZASTOSOWANIAT O M IIPAŃSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWEWI T O L D P O G O R Z E L S K IRÓWNANIA CAŁKOWEI ICH ZASTOSOWANIATOMII.UKŁADY RÓWNAŃ CAŁKOWYCHRÓWNANIA CAŁKOWE NIELINIOWEZASTOSOWANIA RÓWNAŃ CAŁKOWYCHwt e o r ii rów naNróżniczko w ychz Dodatkiem Romana SikorskiegoO TWIERDZENIU SCHAUDERAW A R S Z A W A 1958PAŃSTWOWEWYDAWNICTWONAUKOWECOPYRIGHT 1958 byPAŃSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWEWARSZAWA (Poland), Miodowa 10All Rights ReservedNo part of this book may be translated or reproducedin any form, by mimeograph or any other means,without permission in writing from the publishersP A Ń S T W O W EW Y D A W N I C T W ON A U K O W EW y d a n ie p ie r w s z e . N a k ła d 3.200 e g z . A r k u s z y w y d a w n i c z y c h 12.A r k u s z y d r u k a r s k i c h 12. P a p i e r d r u k s a t. k l. V , g r 70, 70X100/36.O d d a n o d o s k ł a d a n i a 15. I I I . 57.P o d p is a n o d o d r u k u 17. I I I . 58.D r u k u k o ń c z o n o w k w ie tn iu 1958. Z a m ó w ie n ie n r 1339 R -10 C e n a z ł 24,—Z A K Ł A D Y G R A F IC Z N E im . M A R C IN A K A S P R Z A K A w P O Z N A N IUR o z d z i a ł VIIIUkłady równań całkowych liniowych. Równaniacałkowo-różniczkowe liniowe§ 1. Układ równań całkowych FredholmaU kładnrów nań całkowych Fredholm a drugiego rodzaju napiszemyw następującej postaci:.n(1)<a(x) = f j x )+l fpN aB(x, y) cpg(y) dy(« =1,2, ..., n ),Q8 = 1gdzie< (x), <2( x ) ,q > n{x)są niewiadomymi funkcjami w obszarzeQ; f a(x)ppsą danymi funkcjami w obszarzeQ; NaB(x,y)są danymi funkcjami parypunktówxiyobszaruQ.Dla funkcjif aiNaBprzyjmiemy założenie cał-kowalności takie, jak w teorii równania Fredholma.Układ rów nań całkowych (1) można z łatwością sprowadzić do jednego rów nania Fredholm a. Rozważmy mianowicie obszary _Q D3, ...,Qn2,otrzym ane przez równoległe przesunięcie obszaruQi =Q,z których żadne dwa nie m ają punktów wspólnych. Niech F(x) oznacza funkcję określoną w dziedzinieQ\+Q2+ ... +&nprzez równości(2)F (xa) =f j x j( « = 1 , 2 , ..., n ),gdziex ajest punktem obszaruQaodpowiadającym dowolnemu punktow ixi obszaruQi = Q.NiechM (x, y)oznacza funkcję pary punktów dziedzinyQ\+£?2+t- ... +Qnokreśloną przez równości(3)M(xa, yB)=Na8(xv y j(«, /3 = 1,2,..., n ),gdziex a eQ a, y8 e£2g.Wynika stąd, że jeśli funkcjęcp(x),cp(x ),...,cpn(x) czynią zadość równaniom (1) w obszarzeQ,to funkcja<(x) określona w dziedzinieQi+P+&2+ ... +Onprzez równości(4)spełnia równanie(5)3>(x) = F(x)+AJOl4-^2+M(x,y) < (y) dyP< (xa)=ip jx j,Px ae Qa(« = 1,2,..., n ) ,1*4U k ła d y r ó w n a ń c a łk o w y c h lin io w y c hv ini na odwrót, jeśli funkcja&(x)jest rozwiązaniem równania (5), to w artości tej funkcji w obszarachQ i, O2,...,&nokreślają układnfunkcji w obszarzeQ, <a{x^ — $ (xa) (< — 1, 2 , n),będący rozwiązaniem układupxrów nań (1).Jedno równanie Fredholma(5)2jedną niewiadomą funkcją&(x) jest zatem równoważne danemu układowi równań(1).Teoria układu rów nań całkowych Fredholm a sprowadza się więc natychm iast do znanej teorii jednego rów nania Fredholm a i nowych tru d ności nie nastręcza. Z tej uwagi korzystam y często w zastosowaniach.§ 2. Układ równań całkowych VolterryUkład rów nań całkowych V olterry piszemy w postaci(6)rpa{x) = f j x )-MJaXTlNa8(x, y)<B(y) d y,p3=1gdzie<t, <2,...,ę noznaczają niewiadome funkcje w przedziale (a, b); danep pfunkcje(x) są określone w tym przedziale, a funkcjeN aB(x ,y )są określone w trójkącie(7)<2< x < b,<2< y < x .Dla danych funkcji fft(x) iN aB(x,y)przyjm ujem y założenia analogiczne jak dla funkcyjf(x)iN(x, y)w teorii jednego rów nania V olterry. Równania (6) rozwiążemy bezpośrednio metodą iteracji, analogicznie jak dlajednego równania. A mianowicie, widzimy, że jeśli funkcje< , <2,...,<np ppspełniają układ (6), to spełniają również układ iterow anyxn<a(x)=fjix )+ i j 2 NaB(x ,y )fB{y) dy +p8=1xntn+&/£n< (x >I1'^xb$lub(8)gdzienxa/3 = 1a(Pr{y) d y\ dtnV =1xy a(x)=f j x )+l fa 3=1N aB(x, y) f B{y) d y+ A / ^2a 3=1JV<h(x, y)<B(y) dy,pN § (x, y)= 2, / Way(x,t) NyB(t, y) d t .Y=1yPow tarzając powyższą iterację wielokrotnie, stwierdzimy, analogiczniejak dla jednego rów nam a V olterry, że jeśli istnieje układ funkcyj9<2^,p>...,<„spełniający układ (6), to jest on jedyny i określony przez wzoryPxn(9)<a(x)=SJ.X)+ A/pa 3=1\ e(x, y,AfB(y) dy)(a= 1, 2..... n ).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]