pomiar charakterystycznych wielkości turbulentnej warstwy przyściennej na płaskiej płycie, Podstawy ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ćwiczenie7
Pomiarcharakterystycznychwielkościturbulentnej
warstwyprzyściennejnapłaskiejpłycie
1. Wprowadzenie
Celemćwiczeniajestokreśleniepodstawowychcharakterystykpolaprędkościw
turbulentnej warstwie przyściennej uformowanej na płaskiej, gładkiej płycie
umieszczonejwjednorodnymstrumieniu,równolegledokierunkunapływu.
Przy opływie ciała stałego płynem rzeczywistym wyróŜnić moŜna dwa odrębne
podobszary. Pierwszy z nich stanowi cienka warstwa w bezpośrednim sąsiedztwie
ścianki,wktórejprędkośćpłynuzmieniasięwsposóbciągłyodzeranapowierzchni
ciała,doprędkościstrumieniapłynunielepkiegonagranicywarstwy(rys.1).
Wobszarzetym,nazwanymprzezPrandtlawarstwąprzyścienną,siłylepkościbędące
conajmniejtegosamegorzęducosiłymasowe,istotniewpływająnaruchpłynu.Poza
warstwąprzyściennąpłynmoŜebyćtraktowanyjakonielepki.
Rys.1.Rozkładprędkościwsąsiedztwiepłyty
∂ / w warstwie przyściennej maleje wraz ze wzrostem
odległości y od powierzchni ciała, a na granicy warstwy dąŜy do zera. PoniewaŜ
niewielkieróŜniceprędkościnagranicywarstwysąwpraktycepomiarowejtrudnedo
uchwycenia, stosuje się umowny sposób określania grubości warstwy przyściennej
przyjmując,Ŝejesttoodległość,wktórejpanujeprędkośćstanowiąca95%,98%lub
99%prędkościpotencjalnej.
Ściślejszą miarą liniową, określającą warstwę przyścienną jest tzw. odległość
przesunięcia δ (rys.2).PodstawąjejwprowadzeniajestfikcyjnezałoŜenie,Ŝeczęść
płynuznajdującegosięwwarstwieogrubości δ ulega„zamroŜeniu”,podczasgdyna
zewnątrz tej warstwy czynnik porusza się z prędkością przepływu niezakłóconego
U .
U
∂
58
Grubością warstwy przyściennej nazywamy odległość od ścianki do punktu, w
którym prędkość przepływu róŜni się nieznacznie od prędkości przepływu
potencjalnego,jakaustaliłabysięwtympunkcieprzyopływieciałapłynemnielepkim
przytejsamejprędkości U itymsamympołoŜeniuciaławzględemkierunku U .
Gradient prędkości y
Rys.2.Odległośćprzesunięciawwarstwieprzyściennej:a)laminarnej,b)turbulentnej
Przyrównościzakreskowanychpólaibstrumieńobjętościpłynuprzepływającegow
warstwiemiędzyy=0ay=y
1
przedstawićmoŜemyjako:
y
1
( )
*
∫
Udy
=
∞
U
y
−
δ ,
0
skąd:
∫
−
*
δ
=
1
dy
(1)
U
0
∞
Orientacyjnieprzyjmujesię:
δ
*
=
1
dlawarstwyprzyściennejlaminarnej
3
1
δ
*
=
dlawarstwyprzyściennejturbulentnej.
8
InnaliniowamiaraprofiluprędkościwwarstwieprzyściennejmoŜebyćokreślona
na podstawie straty powstałej przy opływie powierzchni, równowaŜnej całkowitej
utracie pędu warstwy płynu o grubości
δ poruszającego się z prędkością ruchu
niezakłóconego:
δ
∫
ρ
U
( )
∞
−
U
dy
=
ρ
U
∞
δ
*
0
Wyznaczonąztegorównaniawielkość:
U
∫
−
U
*
δ
=
1
dy
(2)
U
U
0
∞
∞
nazywamymiarąliniowąstratypędu.
Grubość warstwyprzyściennej niejest stała, lecznarasta stopniowo w kierunku
przepływu od krawędzi natarcia. Rysunek 3 ukazuje rozwój warstwy przyściennej
formującej się na cienkiej, płaskiej płycie, ustawionej równolegle do kierunku
przepływu. Laminarny charakter warstwy przyściennej zachowuje się tylko na
pewnym odcinku płyty. Dalej następuje przejście do ukształtowania się warstwy
turbulentnej.
59
1
δ
δ
δ
U
2
δ
Rys.3.Rozwójwarstwyprzyściennejnapłaskiejpłycie
Krytyczna wartość liczby Reynoldsa, przy której następuje przejście od ruchu
laminarnegodoturbulentnego,dlapłaskiejpłytywynosi:
Re
=
U
∞
ν
x
kr
=
10 ÷
5
10
7
kr
NiŜsze krytyczne wartości Re
kr
występują dla większej turbulencji strumienia
napływającego,wprzypadkuchropowatejpowierzchnipłytyiwiększychzaburzeńna
krawędzinatarcia.
Na element płynu w warstwie przyściennej działają siły styczne wywołane
lepkością,którychwypadkowajestzwróconaodwrotnieniŜprędkośćprzepływu,isiły
ciśnieniowe – przyspieszające lub opóźniające, w zaleŜności od gradientu ciśnienia
wzdłuŜ opływanej powierzchni. Dodatni gradient ciśnienia wzmacnia hamujące
działanie sił lepkości powodując, Ŝe naleŜące do warstwy elementy płynu tracą
stopniowoswąenergiękinetyczną,aprzepływwnajbliŜszymsąsiedztwiepowierzchni
opływanego ciała wykazuje tendencję do ruchu powrotnego. Wynikiem takiego
rozkładuprędkościjestzjawiskooderwaniawarstwyprzyściennejomówioneszerzej
wramachćwiczenia2.
Ruch cieczy lepkiej w warstwie przyściennej moŜna opisać za pomocą równań
Prandtla,stanowiącychuproszczonąformęrównaniaruchupłynówlepkichNaviera
Stokesa.Dlaruchupłaskiego,zpominięciemsiłgrawitacyjnychiwpływuściśliwości,
w układzie współrzędnych prostokątnych według rysunku 1, równanie Naviera
Stokesaorazrównanieciągłościprzybierająpostać:
∂
U
∂
U
∂
U
1
∂
p
∂
2
U
∂
2
U
x
+
U
x
+
U
x
=
−
+
ν
x
+
x
x
y
∂
t
∂
x
∂
y
ρ
∂
x
∂
x
2
∂
y
2
∂
U
∂
U
∂
U
1
∂
p
∂
2
U
∂
2
U
y
y
y
y
y
+
U
+
U
=
−
+
ν
+
(3)
x
y
∂
t
∂
x
∂
y
ρ
∂
y
∂
x
2
∂
y
2
∂
U
x
+
∂
U
y
=
0
∂
x
∂
y
U
,
y
U –oznaczajątuodpowiednioskładoweprędkościwkierunkuosixiy.
Upraszczające załoŜenia Prandtla, prowadzące do równań ruchu warstwy
przyściennej dla przepływów płaskich, oparte są na analizie rzędów wielkości
poszczególnychskładnikówrównańNavieraStokesa[2],któraze względuna małą
60
x
grubość warstwy przyściennej w zakresie dostatecznie duŜych liczb Reynoldsa,
pozwalasprowadzićukładrównań(3)dopostaci:
∂
U
∂
U
∂
U
1
∂
p
∂
2
U
x
+
U
x
+
U
x
=
−
+
ν
x
x
y
∂
t
∂
x
∂
y
ρ
∂
x
∂
y
2
0
=
−
1
∂
p
(4)
ρ
∂
y
∂
U
x
+
∂
U
y
=
0
∂
x
∂
y
Zakłada się jednocześnie, Ŝe pozostawione w pierwszym z równań wyrazy są tego
samego rzędu, co oznacza, Ŝe siły lepkości i siły bezwładności są w warstwie
przyściennejwielkościamioporównywalnychwartościach.
Z drugiego równania tego układu wynika bardzo istotny wniosek, Ŝe ciśnienie w
warstwieprzyściennejjeststałewzdłuŜnormalnejdościany,mawięctęsamąwartość
na opływanej powierzchni, jak i na granicy warstwy, odpowiadając ciśnieniu w
przepływiepotencjalnym.
Opórtarciapowierzchniowego,występującyprzyopływieciałstałych,zaleŜyod
napręŜeństycznychnaścianie )
(x
d
δ
*
H
+
2
*
dU
τ
∞
o
+
δ
=
(5)
dx
U
dx
ρ
U
2
∞
∞
H .
Wszczególnymprzypadkuwarstwystałociśnieniowejspełniającejwarunekdp/dx=0
równanietoupraszczasiędopostaci:
=
δ
*
/δ
*
d
δ
*
τ
=
o
,
(5a)
dx
ρ
U
2
∞
wiąŜącej rozwój grubości straty pędu z rozkładem napręŜeń stycznych wzdłuŜ
długościściany.
1.1. Laminarnawarstwaprzyściennanapłaskiejpłycie
Wynik analitycznego rozwiązania równań Prandtla dla przypadku ustalonego
przepływulaminarnegowzdłuŜcienkiejpłaskiejpłytypodanyzostałprzezBlasiusa.
RozwiązanietoprowadzidonastępującychzaleŜnościokreślającychgrubośćwarstwy
przyściennej:
δ
=
5
ν
,
(6)
U
∞
orazrozwójmiaryliniowejprzesunięciaistratypędu:
δ
*
=
1
721
ν
(7)
U
∞
61
τ ,którychrozkładuzyskanywwynikucałkowania
równańPrandtlaopisujewzórznanypodnazwązwiązkucałkowegoKarmana:
gdzieparametrkształtu
δ
*
=
0
664
ν
(8)
U
∞
NapręŜeniestycznenapłycieokreślawtymprzypadkuzwiązek:
ρ
U
3
τ
o
=
0
332
∞
(9)
x
natomiastlokalnywspółczynniktarciaprzybierapostać:
C
=
τ
o
=
0
664
,
(10)
f
ρ
U
2
/
2
Re
∞
x
gdzie:
Re
x
=
U
∞
x
ν
Charakter narastania grubości warstwy przyściennej na płaskiej płycie oraz
odpowiadającymurozwójtarciapowierzchniowegozostałprzedstawionynarys.4.
Rys.4.Ewolucjagrubościlaminarnejwarstwyprzyściennejipowierzchniowych
napręŜeństycznychwzdłuŜdługościpłyty
1.2. Turbulentnawarstwaprzyściennanapłaskiejpłycie
RównaniaNavieraStokesa,stanowiącenajogólniejsząformęopisuruchupłynów,
zarównowprzepływielaminarnymjakiturbulentnymorazichuproszczonapostać
sformułowana przez Prandtla dla warstwy przyściennej nie wykazują specyficznej
odmiennościruchuturbulentnego.ZgodniezhipoteząReynoldsa,chwilowewartości
wszystkichcharakteryzującychprzepływwielkościfizycznychmogąbyćtraktowane
jakosumywielkościśrednichorazodpowiednichwielkościfluktuacyjnych:
U
=
U
+
u
p
=
p
+
p
,
W wyniku wprowadzenia tych zaleŜności do równań NavieraStokesa oraz
zastosowaniaproceduryuśrednianiawczasie[1]otrzymamyzasadęzachowaniapędu
w przepływie turbulentnym, znaną pod nazwą równań Reynoldsa. Równania te dla
ustalonego przepływu płynu w dwuwymiarowej warstwie przyściennej na płaskiej,
gładkiej powierzchni zapisane mogą być, po przeprowadzeniu odpowiednich
uproszczeń[1],wpostaci:
62
[ Pobierz całość w formacie PDF ]